[数学]线性系统理论8线性二次型最优控制.ppt

第八章线性二次型最优控制 8.1 变分法简介 最优控制理论是变分法,也是泛函极值理论的一个分支。 泛函的一些基本概念 8.1.2 泛函的极值 8.1.3 最优控制问题 8.2 有限时间状态调节器问题 8.2.1 问题的描述 8.2.2 有限时间最优状态调节器 8.3 无限长时间状态调节器问题 8.3.1 问题的描述与调节器形式 8.3.2 闭环稳定性 8.4 输出调节器问题 8.4.1 线性时变系统的情形 8.4.2 线性定常系统的情形 8.5 输出跟踪问题 8.5.1 线性时变系统的情形 8.5.2 线性定常系统的情形 对于线性定常系统，当要求输出参考信号 Z（t）=Z为常向量，终端时间极大但不等于无穷大时，可以导出一个很有实用意义的近似最优控制规律。虽然这个近似控制规律对于终端时间等于无穷大的情况在理论上并不成立，但对一般工程控制系统是足够精确的。  定理8.3.2 设定理8.3.1的条件成立，则上述 无限时间二次型最优状态调节器控制系统 的闭环系统 是渐近稳定的，即闭环系统矩阵 具有负实部的特征值。 说明8.3.1 无限时间调节器控制系统的闭 环系统 的渐近稳定性具有明确的物理意义。其稳定性是极小化性能指标 的必然结果。 例8.3.1 给定受控对象为 性能指标为 求使取极小的最优控制 。 解 从指标的表达式可知 为下述Riccati方程的正定解中 的元 为使 正定，假定 首先容易验证受控对象是能控的， 是正定的。因而最优控制为 式中 和 上式给出下列三个方程 解得 由上式，读者可以自己推算，在保证 为正定的条件下，最后可解得 从而最优控制为 该控制律作用下的闭环系统的状态方程为 在以 为输出，即取 时，系统的传递函数矩阵为 故系统的极点为 问题8.4.1 [有限时间线性二次型最优输出 调节问题]已知线性时变系统 和性能指标 正半定矩阵。要寻求系统的定义在有限时 间 上的控制 ，使得在该控制的 作用下，系统的输出使指标 达到极小。 其中， 为正定对称矩阵； 和 在性能指标下的线性二次型最优输出调节 器为 及其初始条件 定理8.4.1 上述线性时变系统 其中 满足下述Riccati方程 问题8.4.2 [无限长时间线性二次型最优输 出调节问题]给定完全能控和完全能观系统 是正定（或 半正定）对称矩阵。 及性能指标 为正定对称矩阵； 其中， 要寻求该系统的定义在无限长时间 上的一个最优控制 使得在该控制的作用下，系统的输出极小化上述性能指标 。 在指标 下的上述无限长时间线性二次型最优输 出调节问题的解为 定理8.4.2 设 能控， 能观， 能观，则系统 是下述Riccati代数矩阵方程 的唯一对称正定解。另外该最优控制作 用下的闭环系统是渐近稳定的。 其中， 达到极小。 解：显然所给系统既是能控的，也是能观的， 且 例8.4.1 已知系统 其中， 性能指标为 求取系统的最优控制 使指标 故 其中， 应满足Riccati方程 ，使指标 ） 从而 其解为 （为保证 ，舍去 例8.4.2 设受控系统为 性能指标为 求取系统的最优控制 达到极小。 解:首先容易验证此系统是能观的和能控的； 而 求解该问题的Riccati方程可得下述三个 代数方程 为保证 正定，必须有 取 的正定解为 从而所求最优控制为 的增加，系统的极点趋向于实轴，使振荡 减小，响应变慢，对 图8.3.1是该系统的以 为参量的根轨迹。当 时，系统极点为 这相当于性能指标对 未提出要求。随着 （输出 的导数） 权越大，系统的振荡就越小。 从本例可以看到，原受控对象是不稳定的， 但求得的闭环最优系统却是渐近稳定的。实 际上，为保证闭环系统