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直线和平面所成的角与二面角 * 复习引入 点在平面上的射影? 斜线在平面上的射影? a B A1 A 平面的斜线和它在平面内的射影所成的 角,与斜线和平面内的任一条直线所成的角之间 如图： 设∠OAB=?1 ∠BAC=?2 ∠OAC=? 不妨设OA为单位长 而 Ｃ B 思考 有什么关系？ 于是 注意 平面内的直线可以是任意的 θ是斜线L与面内非射影所成的角 θ1是斜线L与面内射影所成的角 θ2是面内直线与射影所成的角 ? 最小角定理 斜线和它在平面内的射影所成的角,是这条斜线和这个平面内的任一直线所成的角中的最小角 新课讲解 直线和平面所成的角（线面角） ? A B 是?的斜线时,AB⊥ ?于 B ， ∩ ? =O,则∠AOB（锐角）即为 与?所成的角 如图： 注意： 斜线与平面所成角 直线与平面所成角 想一想：如何找线面角 确定斜足 找(作)线面垂直 指出射影，确定线面角 求解 法向量求线面角 　　是平面　的法向量，　是 的方向向量， 则直线 与平面 所成的角 二面角 在平面几何中“角”是怎样定义的？ 从平面内一点出发的两条射 线所组成的图形叫做角 o ? ? ? ? B A O B B B B 想一想 两个面组成的图形？ 半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面. 半平面 半平面 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面. 面 面 棱 记作： ?－ l－ ? 表示法 构成 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。 定义 图形 二面角 角 类比角与二面角 B A O 边 边 顶点 A B 面 面 棱 a ? ? 边—点—边 （顶点） 面—直线—面 （棱） ∠AOB 二面角?—l—? 或二面角?—AB—? 平面角：以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 ? ? l A B P A1 B1 P1 ∠APB= ∠A1P1B1 二面角的大小用它的平面角的大小来度量 注意： 角的顶点在棱上 角的两边分别在两个面内 角的两边都要垂直于二面角的棱 二面角的平面角的范围： 0??180? 二面角的平面角的做法 点P在棱上—定义法 点P在一个半平面上—三垂线(逆)定理法 点P在二面角内—垂面法 ? ? l P B Q C l P ? ? B A P ? ? O l ④面积射影法 ⑤法向量求二面角 平面与平面的垂直关系 ：二面角的平面角的范围： 0??180? ：直二面角：平面角是直角的二面角 回顾 定义 记作α⊥β 两个平面相交，如果其中一个平面内只有一条直线垂直于另一个平面，能否得到两个平面垂直？ 思考 已知：AB⊥β AB 求证： ⊥β a B D A C a 证明： ⊥ ⊥ 在平面 内作BE⊥CD 则∠ABE是二面角 的平面角 AB⊥BE ∴∠ABE是直角 ⊥ A B C D E 两平面垂直的判定定理 若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 A B C D 线面垂直 面面垂直 性质定理 若两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 在β内作直线BE⊥CD于B, 则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角 A B C D E 由α⊥β知,AB⊥BE 又AB⊥CD 而BE和CD是β内的两条相交直线 ∴AB⊥β 面面垂直 线面垂直 例题选讲 例1.如图:已知AB为平面a的一条斜线，B为斜足，AO⊥a，O为垂足,BC为a内的直线，∠ABC=60°,∠OBC= 45o ,求斜线与平面所成角。 A B O C 例2.如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一点，则二面角P-BC-A的平面角为: A B C P 例3. A为二面角?－CD－ ? 的棱CD上一点，AB在平面?内且与棱CD成45o角，又AB与平面? 成30o，求二面角?－CD－ ? 的大小 A.∠ABP B.∠ACP C.都不是 O A B C D E ? ? 解：作BE??于E，连结AE 过E作EO?CD于O，连结OB 由三垂线定理可得： BO?CD 设AO =a 在Rt?AOB中，BO=a, AB= a 在Rt?AEB中，?BAE= 30o, AB= a, BE= ／2a 在Rt?BEO中，sin ∠BOE= ／2 ∴所求二面角的大小为45o ∠BOE是二面角 的平面角 则 *