[数学]递推关系的建立及其求解方法.ppt

* 递推式的建立及其求解方法 山东师大附中　赵宗昌　　 一、递推式的建立 　　1、Hanoi塔问题 　　　　问题Ⅰ: 三柱问题 　　　　问题Ⅱ：四柱问题 　　　　问题Ⅲ：m柱问题 　　2、平面分割问题 　　　　问题Ⅰ：封闭曲线分割平面 　　　　问题Ⅱ：‘Z’分割平面 　　　　问题Ⅲ：‘M’分割平面 　　3、Catalan数 　　　　问题一：凸n边形的三角形剖分 　　　　问题二：二叉树数目 　　　　问题三：出栈序列 　　4、第二类Stirling数 　　　　问题一：放置小球 　　　　问题二：集合划分问题 　　5、其他 　　　　问题一：集合取数问题 　　　　问题二：整数划分问题 二、递推式的求解方法： 　　1． 递归函数 　　２．用数组实现 　　３．求递推式的通项表达式： 3．1、迭加法 3．2、待定系数法 3．3、特征方程法 3．4、生成函数法 一、递推式的建立 　　1、Hanoi塔问题 问题的提出：Hanoi塔由n个大小不同的圆盘和m根木柱1,2,3…….m组成。开始时，这n个圆盘由大到小依次套在1柱上，如图所示。  现在要求把1柱上n个圆盘按下述规则移到m柱上： (1) 一次只能移一个圆盘； (2) 圆盘只能在m个柱上存放； (3) 在移动过程中，不允许大盘压小盘。 求将这n个盘子从1柱移动到m柱上所需要移动盘子的最少次数 。 问题Ⅰ:三柱问题 设f(n)为n 个盘子从1柱移到3柱所需移动的最少盘次。当n=1时，f(1)=1。 当n=2时，f(2)=3。 以此类推，当1柱上有n(n2)个盘子时，我们可以利用下列步骤： 第一步：先借助3柱把1柱上面的n-1个盘子移动到2柱上，所需的移  动次数为f(n-1)。 第二步：然后再把1柱最下面的一个盘子移动到3柱上，只需要1次  盘子。 第三步：再借助1柱把2柱上的n-1个盘子移动到3上，所需的移动次 数为f(n-1)。 由以上3步得出总共移动盘子的次数为：f(n-1)+1+ f(n-1)。 所以：f(n)=2 f(n-1)+1 f(n)= 2n-1 问题Ⅱ：四柱问题 【问题分析】： 令f[i]表示四个柱子时，把i个盘子从原柱移动到目标柱所需的最少移动次数。 j 第一步：先把1柱上的前j个盘子移动到另外其中一个非目标柱（2或3柱均可，假设移到2柱）上，此时3和4柱可以作为中间柱。移动次数为：f[j]。 第二步：再把原1柱上剩下的i-j个盘子在3根柱子（1、3、4）之间移动，最后移动到目标柱4上，因为此时2柱不能作为中间柱子使用，根据三柱问题可知，移动次数为：2^(i-j)-1。 第三步：最后把非目标柱2柱上的j个盘子移动到目标柱上，次数为：f[j]。 通过以上步骤我们可以初步得出： f[i] = 2*f[j]+2^(i-j)-1 j可取的范围是1=jI，所以对于不同的j，得到的f[i]可能是不同的，本题要求最少的移动次数 f[i] = min{2*f[j]+2^(i-j)-1}，其中1=jI const MaxNum = 1000; var n : integer; F3, F4 : array[1..MaxNum] of double; procedure Init; var i : integer; begin fillChar(F3,sizeOf(F3),0); fillChar(F4,sizeOf(F4),0); readln(n); F3[1] := 1; F4[1] := 1; {*F3[n] 为Hanoi塔中3根柱子，n个盘子的最少移动次数 F3[n] = 2^n -1; F4[n] 为Hanoi塔中4根柱子，n个盘子的最少移动次数*} for i :=2 to n do F3[i] := 2*F3[i-1] + 1; end; procedure Run; var i, j : integer; minF4i,temp : double; begin for i := 2 to n do begin minF4i :=1e+100; for j := 1 to i-1 do begin temp := 2*F4[j] + F3[i-j