[数学]随机过程第三章1.ppt

第三章 泊松过程 泊松过程定义 泊松过程的数字特征 时间间隔分布、等待时间分布及到达时间的条件分布 非齐次泊松过程 复合泊松过程 基本概念回顾 分布函数（律）： 泊松分布：（离散型）分布律为 指数分布：（连续型）分布律和密度函数分别为 §3.2 泊松过程的基本性质 定理 : 服从参数为 的泊松分布。 证明：由于X(t)-X(s)与X(t-s)－X(0)同分布，因此 例题：设某路公共汽车从早上5时到晚上9时有车发出，乘客流量如下：5时按平均乘客为200人/时计算；5时至8时乘客平均到达率按线性增加，8时到达率为1400人/时；8时至18时保持平均到达率不变；18时到21时从到达率1400人/时按线性下降，到21时为200人/时。假定乘客数在不相重叠时间间隔内是相互独立的。求12时至14时有2000人来站乘车的概率，并求这两个小时内来站乘车人数的数学期望。 解：将时间5:00~21:00平移为0~16,依题意得乘客到达率为： 1400 200 0 3 13 16 t 乘客到达率与时间关系 §3.4 复合泊松过程 * * 定义：称实随机过程{N(t),t≥0}为计数过程，若N(t)表示到时刻t所发生的随机事件数. 由定义可知N(t)满足下列条件： N(t) ≥0; N(t)取正整数值； 若st，则N(s) ≤N(t)； 当st时，N(t)-N(s)等于区间t-s中发生的随机事件的次数。 定义3.2：称计数过程{N(t),t≥0}为具有参数λ0的泊松过程，若它满足下列条件： N(0)=0； {N(t),t≥0}是平稳的独立增量过程； 对任意t0,事件A发生的次数服从参数为λt的泊松分布，即 定义3.3：称计数过程{X(t),t≥0}为具有参数λ0的泊松过程，若它满足下列条件： X(0)=0； X(t)是独立、平稳增量过程； X(t)满足下列两式： 例子： 电话交换机在一段时间内接到的呼叫次数； 火车站某段时间内购买车票的旅客数； 机器在一段时间内发生故障的次数； 一.数字特征: 设{X(t),t≥0}是泊松过程，对任意的t,s∈[0, ∞)，且st，由泊松过程的增量分布服从泊松分布可得: 由于X(0)=0，所以 一般情况下，泊松过程的协方差函数可表示为 泊松过程的特征函数为： 二、时间间隔与等待时间的分布 设 为poisson过程，表示t时刻事件发生的次数，W1,…,Wn,…分别表示 第1次、…、第n次事件发生的时间，则称{Wn,n=1,2,…}为poisson过程的到达时间序列。 T1 W1 t 其概率密度为： 对于任意n=1,2, …事件A相继到达的时间间隔Tn的分布为： Wn是指第n次事件A到达的等待时间 因此Wn是n个相互独立的指数分布随机变量之和。 等待时间的分布 三、到达时间的条件分布 假设在[0,t]内事件A已经发生一次，我们要确定这一事件到达时间W1的分布。 泊松过程 平稳独立增量过程 可以认为[0,t]内长度相等的区间包含这个事件的概率应该相等，或者说，这个事件的到达时间应在[0,t]上服从均匀分布。对于0≤s＜t有 即分布函数为： 条件分布密度为： 0 s t w1 推广到一般情况 定理：设{X(t),t≥0}是泊松过程，已知在[0,t]内事件A发生n次，则这n次到达时间W1W2, …Wn与相应于n个[0,t]上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相同的分布。 §3.3　非齐次泊松过程 定义：称计数过程{X(t),t≥0}为具有跳跃强度函数λ(t)的非齐次泊松过程，若它满足下列条件： X(0)=0； X(t)是独立增量过程； 非齐次泊松过程的数字特征为： 其分布为 回顾 泊松过程定义：称计数过程{N(t),t≥0}为具有参数λ0的泊松过程，若它满足下列条件： N(0)=0； {N(t),t≥0}是平稳的独立增量过程； 对任意t0,事件A发生的次数服从参数为λt的泊松分布，即