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平面与平面垂直的判定 蓬溪中学： 唐 鑫 已知直线PA垂直于?O所在的平面，A为垂足，AB为?O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。 求证：平面PAC?平面PBC。 证明： t y ü P A B O C 变式3 在空间四边形ABCD中，AC＝AD， BC＝BD，E是CD 的中点． 求证：（1）平面ABE⊥平面BCD． （2）平面ABE⊥平面ACD． B C E D A A B C D A1 B1 C1 D1 练习:在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证： Company Logo * LOGO 两直线所成角的取值范围： A B ? ?1 O 平面的斜线和平面 所成的角的取值范围： 直线和平面所成角的取值范围： 复习回顾 [ 0o, 90o ] [ 0o, 90o ] ( 0o, 90o ) 1.在平面几何中角是怎样定义的？ 从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。 或: 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。 2.在立体几何中,异面直线所成的角是怎样定义的？ 直线a、b是异面直线,在空间任选一点O,分别引直线a //a, b// b,我们把相交直线a 和 b所成的锐角 （或直角）叫做异面直线所成的角。 3.在立体几何中,直线和平面所成的角是怎样定义的？ 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做这条直线和这个平面所成的角。 问题:异面直线所成的角、直线和平面所成的角有什么共同的特征？ 结论:它们的共同特征都是将三维空间的角转化为二维空间的角,即平面角。 知识探究（一）：二面角及二面角的平面角 平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，每 一部分都叫做半平面。 从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做 二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平 面叫做二面角的面。 1、半平面： 2、二面角： 半平面及二面角的定义 棱 面 面 α l 半平面 半平面 棱为l，两个面分别为?、?的二面角记为 ?-l-? ． l ? ? A B ? ? 二面角?－AB－ ? ? ? l 二面角?－ l－ ? 二面角C－AB－ D A B C D 5 你从图中看出了二面角的几种写法? ⑴ 平卧式： ⑵ 直立式： A B ? ? A B l ? ? l A B ? ? l 3．画二面角 思考： 在二面角α-l-β的棱上取一点O，过点O分别在二面角的两个面内任作两条射线OA，OB，能否用∠AOB来刻画二面角的张开程度？ l α β O A B 二面角的平面角 思考:在上图中如何调整OA、OB的位置，使∠AOB被二面角α-l-β唯一确定？这个角的大小是否与顶点0在棱上的位置有关？ l α β O A B l α β O A B 思考:上面所作的角叫做二面角的平面角，你能给二面角的平面角下个定义吗？ l α β O A B 1、二面角的平面角： 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面上分别引垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 == ? 等角定理：如果一个角的两边和另 一个角的两边分别平行，并且方向相 同，那么这两个角相等。） 注:（1）二面角的平面角与点的位置 无关，只与二面角的张角大小有关。 （2）二面角是用它的平面角来度 量的，一个二面角的平面角多大，就 说这个二面角是多少度的二面角。 二面角的 平面角的定义 二面角的大小可以用它的平面角来 度量．即二面角的平面角是多少度，就 说这个二面角是多少度． 二面角的范围：[ 0o, 180o ]． ① 二面角的两个面重合： 0o； ② 二面角的两个面合成一个平面：180o； 4．二面角的大小 ③ 平面角是直角的二面角叫直二面角． O A B 归纳：求二面角大小的步骤为： （1）找出或作出二面角的平面角； （2）证明其符合定义(垂直于棱)； （3）计算. 寻找平面角 D 端点 中点 如图，SB=SC, AB=AC 正方体： 寻找二面角的平面角 例1：在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角的平面角： （1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D； （2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A. B A C D A’ B’ C’ D’ B A C D A’ B’ C’ D’ 寻找二面角的平面角 例1：在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角的平面角： （1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D； （2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.