[数学]高考必做的百例导数压轴题吴普林.doc

整理：吉林大学附属中学　吴普林 ◇导数专题 目　　录 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 （1） 二、交点与根的分布　（23） 三、不等式证明　（31） （一）作差证明不等式　 （二）变形构造函数证明不等式 （三）替换构造不等式证明不等式 四、不等式恒成立求字母范围　（51） （一）恒成立之最值的直接应用 （二）恒成立之分离常数 （三）恒成立之讨论字母范围 五、函数与导数性质的综合运用　（70） 六、导数应用题　（84） 七、导数结合三角函数　（85） 书中常用结论 ⑴，变形即为，其几何意义为上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵ ⑶ ⑷. 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 （切线）设函数. （1）当时，求函数在区间上的最小值； （2）当时，曲线在点处的切线为，与轴交于点求证：. 解：(1)时，，由，解得. 的变化情况如下表： 0 1 - 0 + 0 ↘ 极小值 ↗ 0 所以当时，有最小值. (2)证明：曲线在点处的切线斜率 曲线在点P处的切线方程为. 令，得，∴ ∵，∴，即. 又∵，∴ 所以. （2009天津理20，极值比较讨论） 已知函数其中 ⑴当时，求曲线处的切线的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ⑵当时，求函数的单调区间与极值. 解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。 ⑴ ⑵ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 以下分两种情况讨论： ①＞，则＜.当变化时，的变化情况如下表： + 0 — 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ②＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表： + 0 — 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 已知函数 ⑴设两曲线有公共点，且在公共点处的切线相同，若，试建立 关于的函数关系式，并求的最大值； ⑵若在(0,4)上为单调函数，求的取值范围。 （最值，按区间端点讨论） 已知函数f(x)=lnx－. (1)当a0时，判断f(x)在定义域上的单调性； (2)若f(x)在[1,e]上的最小值为，求a的值. 解：(1)由题得f(x)的定义域为(0,＋∞)，且 f ′(x)＝＋＝. ∵a0，∴f ′(x)0，故f(x)在(0,＋∞)上是单调递增函数. (2)由(1)可知：f ′(x)＝， ①若a≥－1，则x＋a≥0，即f ′(x)≥0在[1,e]上恒成立，此时f(x)在[1,e]上为增函数， ∴f(x)min＝f(1)＝－a＝，∴a＝－ (舍去). ②若a≤－e，则x＋a≤0，即f ′(x)≤0在[1,e]上恒成立，此时f(x)在[1,e]上为减函数， ∴f(x)min＝f(e)＝1－＝，∴a＝－(舍去). ③若－ea－1，令f ′(x)＝0，得x＝－a. 当1x－a时，f ′(x)0，∴f(x)在(1,－a)上为减函数； 当－axe时，f ′(x)0，∴f(x)在(－a,e)上为增函数， ∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝?a＝－. 综上可知：a＝－. （最值直接应用）已知函数，其中. （Ⅰ）若是的极值点，求的值； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）若在上的最大值是，求的取值范围. 解：（Ⅰ）. 依题意，令，解得 . 经检验，时，符合题意. （Ⅱ）解：① 当时，. 故的单调增区间是；单调减区间是. ② 当时，令，得，或. 当时，与的情况如下： ↘ ↗ ↘ 所以，的单调增区间是；单调减区间是和. 当时，的单调减区间是. 当时，，与的情况如下： ↘ ↗ ↘ 所以，的单调增区间是；单调减区间是和. ③ 当时，的单调增区间是；单调减区间是. 综上，当时，的增区间是，减区间是； 当时，的增区间是，减区间是和； 当时，的减区间是； 当时，的增区间是；减区间是和. （Ⅲ）由（Ⅱ）知 时，在上单调递增，由，知不合题意. 当时，在的最大值是， 由，知不合题意. 当时，在单调递减， 可得在上的最大值是，符合题意. 所以，在上的最大值是时，的取值范围是. （2010北京理数18） 已知函数=ln(1+)-+(≥0). (Ⅰ)当=2时，求曲线=在点(1,(1))处的切线方程；