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第二章 函数 §2.1数列的极限 §2.2函数的极限 §2.3无穷小量与无穷大量 §2.4极限的性质与运算法则 §2.5极限的存在性定理与重要极限 §2.6函数的连续性 §2.1数列的极限 引例(割圆术)：古代数学家利用圆内接正多边形来推算圆面积.该方法的思路是： 虽然整个圆周是弯曲的，但每一段小圆弧却可以近似的看成直的,即在很小的一段上可以近似地“以直代曲”. 数列 《庄子》：一尺之棰，日取其半，万世不竭. 定义：以正整数n为自变量的函数y=f(n),把它的函数值依次写出来,就叫做一个数列,即x1,x2,...,xn,...记为{xn}.其中xn称通项。 数列举例 数列极限的描述性定义 定义：当数列{un}的下标n无限增大时,其对应的项un无限趋近某一确定常数A,则称数列{un}以A为极限，记为： “无限接近”意味着什么? 我们以当n无限增大时,xn=1+(-1)n-1/n无限趋近1为例,进行严格的分析： 数列极限的(?-N)严格定义 定义：设{un}为一数列，对于任意给定的一个正数(不论多小),总存在正整数N,使得当nN时,不等式| un - A| ?恒成立。则称常数A是数列un的极限,或称数列un收敛于A。记为： ?-N定义的几何解释 数列极限证明示例 数列极限证明示例 数列极限证明示例 数列极限证明示例 §2.2函数的极限 一. x?x0时函数f(x)的极限 二. x??时函数f(x)的极限 三. 函数极限的其它情形 数列作为函数的一种特殊而简单的情形,其自变量(下标)的无限变化模式只有一种：越来越大。然而普通函数f(x)的自变量的变化方式却多种多样,如x越来越大、越来越接近定点x0...等等。从而讨论函数值的变化趋势就有多种模式。 x?x0时函数f(x)的极限 描述性定义：若当自变量x无限趋近定点x0时,相应的函数值f(x)无限接近某确定的常数A。则称当x趋向x0时函数f(x)以A为极限,或f(x)收敛到A,记为 ???定义的几何解释 例题与讲解 例:求下列极限 x??时函数f(x)的极限 描述性定义：若当自变量的绝对值|x|无限增大时,相应的函数值f(x)无限接近某确定的常数A。则称当x趋向无穷时函数f(x)以A为极限,或f(x)收敛到A,记为 ??X定义的几何解释 单侧极限 若x从x0左侧(xx0)趋近x0(记为x?x0-)时, f(x)无限接近常数A,则称A为当x?x0-时f(x)的左极限;记作 例题与讲解 例题与讲解 例题与讲解 例题与讲解 §2.3无穷小量与无穷大量 一. 无穷小量的概念 二. 无穷小量的性质 三. 无穷小量的比较 四. 无穷大量 前面讨论了函数极限(变化趋势)的一般情况,下面我们将讨论两类特殊的函数变化趋势,它们与一般的函数极限有着密切关系。 无穷小量 定义：在自变量的某一变化过程下,以零为极限的函数(变量)称无穷小量。 例如: sinx?0 (x ?0) ; cos2x?0 (x ??/4) . 判断： 10-100是无穷小量吗？ x、x2是无穷小量吗？ 0是无穷小量吗？ 注意：无穷小量是趋向0的变量,变化趋势总是要和自变量的变化过程联系在一起。 无穷小量与一般极限的关系 定理：limf(x)=A?f(x)=A+?(x),lim?(x)=0。 无穷小量性质(同一自变量变化过程) 性质1: 有限个无穷小量之和仍为无穷小量。 性质2: 有限个无穷小量之积仍为无穷小量。 性质3: 无穷小量与有界量之积仍为无穷小量。 性质4: 无穷小量除以极限不为零的变量,其商仍为无穷小量。 注意：上述结论中有限个不能轻易去掉.比如无限个无穷小量之和不一定无穷小量。 考虑： 例题与讲解 例：求极限 无穷小量收敛速度示意图 同样是无穷小量,它们收敛到零的快慢程度却不同。比如对: x1/2,2x,4x,x2,(x?0+) 自变量x: 10 1 0.1 0.01 0.001... 因变量x1/2:3.16 1 0.316 0.1 0.0316... 因变量2x: 20 2 0.2 0.02 0.002... 因变量4x: 40 4 0.4 0.04 0.004... 因变量x2: 100 1 0.01 10-4 10-6... 无穷小量的比较 无穷小比较示例 例如：当x?0+时,对无穷小量x1/2,2x,4x,x2进行比较。 无穷大量 定义: 如果在自变量的同一变化过程中,变量(函数)f(x)的绝对值无限增大,则称该变量是这个变化过程中的无穷大量。记作limf(x)=?。 有时可细分为： 正无穷大量limf(x)=? 变量f(x)无限增大 负无穷大量limf(x)=-? 变量相反数-f(x)无限增