[文学]实验2差分方程和数值微分.doc

实验2 差分方程和数值微分 题目3 某湖泊每天有的河水流入，河水中污物浓度为，经渠道排水后湖泊容积保持不变，现测定湖泊中污物浓度为，建立差分方程计算湖泊中1年内逐月（按30天计算）下降的污物浓度，问要多长时间才能达到环保要求的浓度？为了把这个时间缩短为一年，应将河水中污物浓度降低到多少？ 【模型及其求解】 记湖泊总水量，每天流入湖泊的河水量，湖泊最初污物浓度，目前河流的污物浓度，假定外部环境没有任何其他的污染物进入湖泊，并且湖泊本身不会制造污染物，流入湖泊的河水的污物浓度不变，不考虑每天任意时刻河水与湖水的混合过程，另外，假定湖很大，河流入水口与湖泊出水口相距很远（认为当天从湖泊流出的水的浓度是不变的），同时，湖水的总量任意时刻都保持不变（不会出现先蓄积再排出的现象）。基于以上假定，则第k天湖水的污物浓度只和第k-1天湖水的污物浓度及流过的河水污物浓度有关，可以得到如下关系式： 记，，则： 代入题目中给定的数据，在MATLAB中计算。源程序为： %第二章第3题源程序 clear all V0 = 200*10^4; %参数初始值设定 Vin = 10^4; K = 0; pr0 = 0.02; x0 = 0.2; a = (V0-Vin)/V0; P = [0 0.01 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.14 0.16 0.2 0.24] %河水不同的污物浓度 for j = 1:11 pr = P(j); b = Vin*pr/V0; x(1) = x0; x(2) = a*x(1) + b; for k = 2 : 720 x(k) = a*x(k-1) + b; %差分关系式 C(j,k) = x(k); %湖水污物浓度变化矩阵 end C(j,1) = x0; if(j == 3) %题目给出的河水污染物浓度下的情况 m = 1:12; B(m+1) = x(30*m); B(1) = x0; end end figure, plot(0:12,B,b*,0:12,B,r-);%一年内按月份污物浓度变化(pr=0.02) title(图1.一年内湖泊污染物浓度(按月)) xlabel(月份) ylabel(污物浓度(g/m^{3})) gtext(pr=0.02); figure, plot(1 : 720,C(1,:),m,1 : 720,C(2,:),b,...%pr取不同值污染浓度曲线比较 1 : 720,C(3,:),y,1 : 720,C(4,:),r,1 : 720,C(5,:),g,... 1 : 720,C(6,:),c,1 : 720,C(7,:),k,1 : 720,C(8,:),m,... 1 : 720,C(9,:),g,1 : 720,C(10,:),r,1 : 720,C(11,:),k),... axis([0 720 0 0.25]); title(图2.河水污物浓度不同时湖泊污染物浓度变化情况(按天)); xlabel(天) ylabel(污物浓度(g/m^{3})),gtext(pr=0); gtext(pr=0.01);gtext(pr=0.02);gtext(pr=0.04); gtext(pr=0.06); gtext(pr=0.08); gtext(pr=0.1); gtext(pr=0.14); gtext(pr=0.16); gtext(pr=0.2); gtext(pr=0.21); a = 0.9950; k = 360; xk = 0.04; x1 = 0.2; %如果一年内污染物浓度达要求求解prX b = (1-a)*(xk-x1*a^(k-1))/(1-a^(k-1)); prX = b*V0/Vin; 问题解决 Step1： 首先，得到一年内1～12月份的湖水污物浓度数据，如表1。 表1. 一年内湖水污物浓度（月份） （浓度单位：g/m3） MATLAB绘制出曲线如图1： 由此曲线可以清楚地看到湖水的污染物浓度不断降低，但是一年时间仍然不能使得湖水污物浓度达到环保要求。 利用Matl