实变函数第五章作业讲解.doc

第五章 习题 3．设在上可积, , 则 。 分析：采用定义证明 证明 因为在上可积, 所以, 即。 事实上,因为 即集列单调下降, 所以 由可积和绝对连续性,对 使对 ，有 , 由 , 知对上述 使得时,有 , 所以由,在上,有 , 即。 4．设为上可测函数,,则在上可积的充要条件是。 证明 “” 设在上可积,则在上也可积。 当时, 在上, , 当时, 在上, ,因此 。 因为是两两不交的的子集, , 因此。 “” 因为 ,则 。 所以可积, 因而和都可积, 故也可积。证毕。 总结：在积分问题中，研究集合的性质的关键点：将积分域写成与其他集合的并集 5．设在上反常积分存在（可积）, 证明：在上可积的充要条件为在上反常积分存在（可积），并且此时成立 。 证明1 因为在上反常积分存在（可积），所以对任意的在上也可积, 因而在上也可积。于是由§2定理4得 。 在上式两边令, 则 。 因此, 在上可积的充要条件为在上的反常积分存在, 最后由§5定理7, 有 。 问题：的根据？ 证明2(受130页定理7证明启发) 易知是上的可测函数（补充定义） 从在上可积,知在上有界故可积,因而可测。由此可知是上的可测函数,所以可测。 任取一列单调减少的正数,使。因为在上可积,故在上有界且可测,因而在上可积,并且 。 (1) 因为非负函数列在上增加地几乎处处收敛到,因此由列维定理得, 。 (2) 所以由（1）与（2）式得 。 故在上可积的充要条件为在上反常积分存在。最后由§5定理7, 有 。 说明：， 问题：根据本题结论、111页的定理4及130页的定理7建立R积分与L积分的关系。 6．设为上非负可积函数列,若,则。 证明 对,由,得 。 所以 即。 7．设,为有限可测函数列。证明： 的充要条件是。 说明：184页4证过 证明 “”由, 知对 有 所以 。 因为在时严格递增, 所以 从而 , 即得 。 “ 由得又 所以由控制收敛定理,得 , 即。 11．证明 。 分析：先积分再求极限较困难，故先求极限再积分，需验证条件 证明 (1) 在上可测 (2)当时, ； 当时, 。 令 则当时,有 且 , 即在上可积。 (3)又因为, 所以由控制收敛定理得 原式=。 15．设为上可积函数, , 且 ,为常数, 则可积。 证明 由,所以 , 由引理(),得 所以,即,故和都有限,所以 , 从而在上可积。 强调：该题说明可积函数列的极限不一定可积 17．设都是上可积函数, 于, 且 , 试证,在任意可测子集, 都有 。 证明 由法都引理, , 下面证明 。 事实上, 若 , 则有子列, 使 , 因此由题设知 这与法都引理矛盾, 所以 , 从而有 。 证毕。 总结： (1). 在证明许多积分的极限式中常常会利用法都引理证明一列积分的上极限与下极限相等,因而极限存在并等于所求证的值。 (2). 当题中涉及函数列为被积函数，且知函数列收敛，则需用三大定理求解 11