必修5 第一章 解三角形 全章解析.doc

必修5 第一章 解三角形 一、本章知识结构： 二、知识要点梳理 知识点一：解三角形　　由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形。 解三角形的问题一般可分为下面两种情形：　　①若给出的三角形是直角三角形，则称解直角三角形；　　②若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形。(四种类型的解斜三角形)知识点二：解斜三角形的主要依据　　设的三边分别为a、b、c，对应的三个内角分别为A、B、C。（1）角与角的关系： 　　①内角和： ， 　　②互补关系：　　　　　　　　　　　③互余关系：　　　　　　　　　（2）边与边的关系： 　　三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。　　即：a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b，　　a－b＜c，b－c＜a，c－a＜b。（3）边与角关系： 　　①大角对大边，大边对大角；等边对等角，等角对等边　　　即；　　　　　②正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，其比值为外接圆的直径。　　　即（其中R表示三角形的外接圆半径）　　　变式：; sinA=a/2R ; sinA/sinB=a/b; a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC　　③余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍　　　即； ……. 变式：。……..知识点三：△ABC的面积公式　　（1）（其中表示a边上的高）　　（2）（R为三角形的外接圆半径）三、规律方法指导1. 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： 　　（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；　　（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）2. 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： 　　（1）已知三边，求三个角；　　（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 注意：　　①正、余弦定理的实质是方程，因此在应用的过程中要留意方程思想；　　②三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解；3．三角形的形状的判定　　（1）根据所给条件确定三角形的形状，常用正弦（余弦）定理实施边角转化，主要有两种途径： ①化边为角；②化角为边。　　（2）余弦定理用于判定三角形的形状的依据　　　　 ①在中，；　　　　 ②在中，；　　　　 ③在中，　　注意：一般只需判断最大角的余弦值的符号。 四、解三角形常见类型及解法 在三角形的6个元素中要知三个（除三角外）才能求解，常见类型及其解法见下表：