数值分析课件第6章3-4节.ppt

6.3 迭代法的收敛性 6.3.2 关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性 6.4 分块迭代法 所以 从而 当 时，利用(3.7)，(3.8)，有 当 时， 即 的任一特征值满足 ， 故SOR方法收敛 可以证明 定理10 设 ， (1) 为严格对角占优矩阵(或 为弱对角占优不可约 矩阵)； 如果 则解 的SOR迭代法收敛. 下面讨论迭代法的收敛速度. 由定理3证明中可知，如果 且 越小时， 迭代法收敛越快. 及一阶定常迭代法 （3.9） 且设迭代法收敛， 记 ， 现设有方程组 则 由基本定理有 , 且误差向量 满足 故 设 为对称矩阵，则有 欲使 取对数，得到所需最少迭代次数为 （3.10） 这说明，所需迭代次数与 成反比. 越小， 越大，由(3.10)式所需迭代次数越少，即迭代法收敛越快. 对于SOR迭代法希望选择松弛因子 使迭代过程(2.10) 收敛较快， 定义5 在理论上即确定 使 对某些特殊类型的矩阵，已建立了SOR方法最佳松弛因子理论. 例如，对所谓具有“性质 ” 等条件的线性方程组建立了最佳松弛因子公式 称 为迭代法(3.9)的渐近收敛 速度，简称迭代法收敛速度.  （2.10） 其中 为解 的雅可比迭代法的迭代矩阵的谱半径. 在实际应用中，对于某些椭圆型微分方程(模型问题)， 可以给出 的计算方法， 但一般来说，计算 是有困难的，可用试算的办法来确定一个适当的 . 算法2 (SOR迭代法) 设 ， 其中 为对称正定 矩阵或为严格对角占优阵或为弱对角占优不可约矩阵等， 本算法用SOR迭代法求解 ， 数组 存放 及 用 控制迭代终止， 用 表示最大 迭代次数. 也可用 来控制迭代终止，其中 6.3.1 一阶定常迭代法的基本定理 设 （3.1） 其中 为非奇异矩阵， 记 为(3.1)精确解， 于是 （3.2） 且设有等价的方程组 设有解 的一阶定常迭代法 （3.3） 问题是： 迭代矩阵 满足什么条件时，由迭代法产生 的向量序列 收敛到 引进误差向量 由(3.3)式减(3.2)式得到误差向量的递推公式 由6.1节可知，研究迭代法(3.3)收敛性问题就是要研究 迭代矩阵 满足什么条件时，有 定义2 设有矩阵序列 及 , 如果 个数列极限存在且有 则称 收敛于 ， 记为 （3.3） 例4 且设 ，考查其极限. 解 由于，当 时，有 设有矩阵序列 所以 矩阵序列极限概念可以用矩阵算子范数来描述. 定理1 证明 再利用矩阵范数的等价性，可证定理对其他算子范数也对. 定理2 对任何向量 都有 其中‖·‖为矩阵的任意一种算子范数. 显然有 定理3 设 , 则 (零矩阵)的 充分必要条件是矩阵 的谱半径 证明 由矩阵 的若当标准型，存在非奇异矩阵 使 其中若当块 且 ， 其中 于是 下面考查 的情况. 显然有 引进记号 显然有， 由于 , 因此 其中 利用极限 ， 所以 的充要条件是 ， 得到 即 定理4 （3.4） (迭代法基本定理) 设有方程组 及一阶定常迭代法 （3.5） 对任意选的初始向量 ， 矩阵 的谱半径 迭代法(3.5)收敛的充要条件是 证明 设 ， 易知 记为 ， 充分性. )有惟一解， (其中 则 误差向量 由设 ， 应用定理3，有 于是对任意 ,