数学必修四成才之路1-2-3.ppt

1．2.3同角三角函数的基本关系 同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系： . 即同一个角的正弦、余弦的平方和等于1. (2)商数关系： 即同一个角的正弦、余弦的商等于这个角的正切． (3)倒数关系： ，即同一个角的正切、余切之积等于1(或同一个角的正切、余切互为倒数)． 重点：同角三角函数基本关系式的推导及其应用． 难点：关系式在解题中的灵活运用和同学们思维灵活性的培养． 1．同角三角函数的关系式必须在“同角”的前提下应用． 2．同角三角函数的基本关系式的应用 (1)同角三角函数的基本关系式主要用于： ①已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值； ②化简三角函数式； ③证明三角恒等式． ②如果已知三角函数的值，但没有指定角在哪个象限，那么由已知三角函数值确定角可能在的象限，然后再求解，这种情况一般有两组解； ③如果所给的三角函数值含字母，且没有指定角在哪个象限，那么就需要进行讨论． 3．(1)三角函数式的化简实际上是一种不指定答案的恒等变形，要明确化简的基本要求：尽量减少角的个数，尽量减少三角函数的种数，尽量化同角、化同名等．其他思想还有：异次化同次、高次化低次、化弦或化切、特殊角三角函数与特殊值互化等． 化简的方法有切割化弦法，1的代换法等． (2)已知某个角的一个三角函数值，求这个角的其它三角函数值的方法． 方法1：定义法．设出角终边上点的坐标，用定义求解． 方法2：公式法．已知正、余弦中的一个值，求其它值时，要用平方关系(注意开方时符号的选取，有时要讨论)；已知正切值，求其他值时，需用两个公式建立方程组求解． (3)证明恒等式的过程就是通过转化和消去等式两边差异来促成统一的过程，证明的方法在形式上显得较为灵活，常用的有以下几种： ①从等式的一边开始证得它的另一边，一般把比较复杂的一边化简得到另一边，其依据是相等关系的传递性． ②综合法．由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想，即“a＝b等价于c＝d，所以a＝b成立的充要条件是c＝d成立”． ③证明等式左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等，即“a＝c，b＝c，则a＝b”，它可由相等关系的传递性及对称性推出． [分析]　可先由余弦值是负的确定角α的终边在第二或第三象限，然后再分象限讨论． [解析]　因为cosα0，且cosα≠－1，故α是第二或第三象限角． 如果α是第二象限角，那么 [点评]　本题没有具体指出α是第几象限角，必须由cosα的值推断α可能是第几象限的角，再分象限加以讨论． [答案]　D [分析]　若能再找出关于sinθ，cosθ的另外的关系式，可通过解方程分别求出sinθ，cosθ. [点评]　sinθ±cosθ与sinθcosθ之间有着密切的关系，它们由sin2θ＋cos2θ＝1联系起来． [分析]　本题是化简二次根式，应将被开方式化为完全平方式，从二次根号下移出来，同时要注意移出后的符号． [点评]　利用同角三角函数之间的关系公式去掉根号是解决此题的关键，对于去掉根号后的含绝对值的式子，需根据绝对值内的式子的符合，做好分类讨论，去掉绝对值． [分析]　解法一：因为右边分母为cosα，故可将左边分子、分母同乘cosα，整理化简即可． 解法二：只要证明左式－右式＝0即可． (4)分析法，从被证的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到成立的条件为已知条件或明显的事实为止，就可以判定原式成立． [点评]　第(3)题对分母中常数“1”的处理是利用平方关系将其转化为sin2α＋cos2α，从而将分母转化为sinα和cosα的齐次式，这是处理三角变换中经常用到的方法．解第(3)题时，应注意分子、分母是否齐次，不要盲目弦化切． [点评]　同角三角函数的关系有：平方关系、商数关系、倒数关系，它们的规律可用“六边形法则”来记忆．此六边形构造是“上弦、中切、下割，左正、右余、中1，倒数对角线，乘积两边夹(商数依序除)，平方倒三角”． 就是说：(1)对角线上的都成倒数关系，即sinα·cscα＝1，cosα·secα＝1，tanα·cotα＝1； (2)成平方关系的都在顶点向下的三个阴影倒三角形中，下边顶点处的是其余两个的平方和，即sin2α＋cos2α＝1，tan2α＋1＝sec2α，1＋cot2α＝csc2α； [分析]　证明三角恒等式的原则是由繁到简．常用的方法有：①从一边开始，证得它等于另一边；②证明左右两边都等于同一个式子；③变更论证，即通过化除为乘、左右相减等，转化成证明与原结论等价的式子． [点评]　证明三角恒等式离不开三角函数的变换．在变换的过程中，把正切函数化成正弦或余弦函数，减少函数的种类，往往有利于发现等式两边的关系或使式子简化，要细心观察等式两边的差异，灵活运用所学