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第十讲 三角形 一、课标下复习指南 1．三角形定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 2．三角形的主要线段和特殊点 (1)三角形的主要线段 三角形的角平分线：三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线． 三角形的高：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． (2)三角形的特殊点 三角形的外心：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点称为三角形的外心(即三角形外接圆的圆心)．外心到三角形各顶点的距离相等． 三角形的内心：三角形三个内角的平分线相交于一点，这个点称为三角形的内心(即三角形内切圆的圆心)．内心到三角形各边的距离相等． 三角形的重心：三角形的三条中线相交于一点，这点称为三角形的重心． 3．三角形的边、角关系 (1)关于边的关系： ①三角形任意两边之和大于第三边； ②三角形任意两边之差小于第三边． (2)关于角的关系： ①三角形三个内角的和等于180°； ②三角形的每一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； ③三角形的每一个外角大于和它不相邻的任何一个内角； ④三角形的外角和等于360°． (3)关于边、角的关系： ①在同一个三角形中，等边对等角；等角对等边． *②在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大；如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大． 4．三角形的分类 (1)按边的相等关系分类如下： (2)按角的大小分类如下： 5．等腰三角形 (1)定义 有两边相等的三角形叫做等腰三角形． (2)性质 ①等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)； ②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合； ③等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边的垂直平分线． (3)判定 ①根据等腰三角形的定义判定； ②有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)． 6．等边三角形 (1)定义 三边都相等的三角形叫做等边三角形． (2)性质 ①具有等腰三角形的性质； ②等边三角形的每个角都是60°，各边相等； ③等边三角形的外心、内心、中心、重心互相重合成一点． 若等边三角形的边长为a，则其外接圆半径R，内切圆半径，一边上的高，其面积为 (3)判定 ①根据等边三角形的定义判定； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形． 7．直角三角形 (1)定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． (2)性质 ①直角三角形中，两个锐角互余； ②勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方； ③直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，斜边大于直角边； ④在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． (3)判定 ①根据直角三角形的定义判定； ②勾股定理的逆定理：如果三角形中的两条较短边的平方和等于较长边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 8．全等三角形 (1)全等三角形的定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． (2)全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等、对应角相等． (3)全等三角形的判定 两个三角形具备以下条件之一的就全等： ①三边对应相等，即SSS； ②两边及其夹角对应相等，即SAS； ③两角及其夹边对应相等，即ASA； ④两角和其中一角的对边对应相等，即AAS． 如果两个三角形都与同一个三角形全等，那么这两个三角形全等；两个直角三角形全等还可以用斜边和一条直角边对应相等(即HL)来判定． 9．三角形具有稳定性 10．角平分线的性质定理及逆定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上． 11．线段垂直平分线性质 性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 12．作图 (1)了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法． (2)利用基本作图法作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形． 13．命题与定理 (1)命题：判断一件事情的语句，叫做命题． 命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，命题通常写成“如果……那么……”的形式． (2)定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理． (3)互逆命题：两个命题，如果第一个命题的题设和结论分别是第二个命题的