添辅助线求面积.doc

四、添辅助线求面积 　　在奇妙的几何世界里，几何图形多种多样，千变万化.许多几何问题，只靠原图形上已有的线段很难发现解题思路，需要添加一条或几条原图形上没有的线段，在图形与图形之间架起“桥梁”，这样才能发现图形之间的关系，进而找到解题思路. 1 图1中，BD=3AD，CE=5AE，问三角形ABC的面积是三角形ADE的面积的多少倍？ ADE与三角形ABC既不等底也不等高，所以无法直接找到它们面积之间的关系.因此需要作出一些等底或等高的三角形来.这样通过三角形底或高的倍数关系，去求三角形面积的倍数关系.根据BD=3AD，CE=5AE，可以分别以BD、AD、CE、AE为三角形的底，作出等高三角形，去寻找它们面积之间的关系.为此只要连结CD，即可达到目的. CD，得到图2. ADE和三角形DCE是等高三角形.因为CE=5AE，所以三角形DCE的面积等于三角形ADE面积的5倍.因此三角形ADC的面积等于三角形ADE面积的（5+1）倍. ADC和三角形BCD也是等高三角形，因为BD=3AD，所以三角形BCD的面积等于三角形ADC的面积的3倍.因此三角形ABC的面积等于三角形ADC面积的（3+1）倍. 　　三角形ABC面积 =三角形ADE面积×（5+1）×（3+1） =三角形 ADE面积×6×4 =三角形ADE面积×24 ABC面积是三角形ADE面积的24倍. 1可以看到，由于添了一条原图上没有的线段CD，使得三角形ABC与三角形ADE之间建立了联系.我们把这种原图上没有，后添出来的线叫辅助线.为了区别于原图上的线，凡是后添的辅助线一律画成虚线. BE可以吗？如何计算？ 2 图3中正方形ABCD的边长是4厘米，长方形DEFG的长DG=5厘米，问长方形的宽DE为多少厘米？ =长×宽，现在已知长方形DEFG的长，要求宽，所以先求长方形DEFG的面积.而正方形ABCD面积已知，能找出正方形ABCD面积与长方形EFGD面积之间的关系即可.观察两个图形的重叠部分发现，如果连结AG，如图4，那么在正方形ABCD中，三角形AGD的底和高分别为正方形边长AD和CD，所以它的面积是正方形ABCD面积的一半.同样在长方形EFGD中，三角形AGD的底为长方形的长DG，高为长方形的宽DE，所以它的面积也是长方形DEFG面积的一半.这样就找到了长方形DEFG与正方形ABCD面积之间的关系. AG，如图4. AGD的面积是正方形ABCD面积的一半，也是长方形DEFG面积的一半.所以 DEFG面积=正方形ABCD面积 =4×4 　　 =16（平方厘米） DEFG的宽 DE=16÷5=3.2（厘米） 3 在图5中，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于E，F、G分别是AC、BD延长线上的点，且CF=AE，DG=BE.如果四边形ABCD的面积为10平方厘米，求三角形EFG的面积. EFG与四边形ABCD之间的关系来.从图5中可以看出：因为三角形CDE是三角形EFG与四边形ABCD的公共部分，所以只需要找出四边形CDGF与三个小三角形ABE、 BCE、 DAE面积之间的关系.由CF=AE，DG=BE可以想到作等底三角形，因此可连结CG和AG，如图6.可以发现，三角形BCE和CGD，三角形ABE和ADG，三角形CFG和AEG都分别是等底等高的三角形，这样就可以找到它们面积之间的关系. CG和AG，如图6. BCE、CGD和三角形ABE、ADG中，因为BE=DG，且又分别共顶点C和A，所以它们分别是等底等高的三角形，面积相等.因此 三角形BCE面积+三角形CDE面积 =三角形CGD面积+三角形CDE面积 =三角形CGE面积 三角形ABE面积+三角形AED面积 =三角形ADG面积+三角形AED面积 =三角形AEG面积 CFG和AEG中，因为CF=AE，且又共顶点G，所以它们也是等底等高的三角形，面积相等.因此 三角形EFG面积 =三角形CFG面积+三角形CGE面积 =三角形AEG面积+三角形CGE面积 =（三角形 ABE面积+三角形AED面积）+（三角形BCE面积+三角形CDE 面积） =四边形ABCD面积 =10（平方厘米） 4 如图7，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD=AB；延长BC至E，使CE=2BC；延长CA至F，使AF=3AC，求三角形DEF的面积. 分析与解 由已知条件无法直接求出三角形DEF的面积.应找到与三角形ABC面积之间的关系.根据BD=AB，CE=2BC，AF=3AC发现，可以分别以BD、CE、AF为底，与三角形ABC作等高三角形.通过观察容易想到连结CD、AE，如图8，这样可以通过各个三角形与小三角形ABC面积之间的关系，求得大三角形DEF的面积. CD、AE，如图8. ABC与BDC共顶点C，且AB=BD，所以 BDC面积=三角形A