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* 向量空间 一、向量空间及其子空间 1.定义：设V是n维向量的非空集合，如果V对于向量加法 及数乘两种运算封闭，即： 则称集合V为n维向量空间,简称为向量空间。 例如： 2.子空间：W、V 为 向量空间，若W? V，则 称 W 是V 的子空间。 如 都是 的子空间。 例： 只需证明 向量空间的基与维数 定义： 满足 基中所含向量个数 r 称为向量空间的维数。 基为 若向量空间的基为 向量在基下的坐标 定义：设 是向量空间V 的基， 注：1.向量在一组确定的基下的坐标是惟一的。（为什么？） 2.向量空间的基不惟一,因此,向量在不同基下的坐标也不一样。 你能推导出向量在不同基下的坐标变换式吗？ 详见参考书第59页。 3.向量在一组基下的坐标如何求？ 一般有两种求法：待定系数法与矩阵方程法。 线性方程组 一、齐次线性方程组 称为齐次线性方程组。 系数 矩阵 方程组的 矩阵形式 齐次线性方程组解的性质 显然是方程组的解；称为零解。 若非零向量 是方程组的解，则称为非零解， 也称为非零解向量。 性质1：齐次方程组的两个解的和仍是方程组的解。即： 性质2： 令 则V 构成一个向量空间。 称为方程组 的解空间。 若齐次线性方程组的解空间存在一组基 则方程组的全 部解就是 这称为方程组的通解。 由此可见，要求方程组的全部解，只需求出其基。 定义：若齐次方程组的有限个解 满足： 则称 也就是说，我们将解空间的基称为基础解系，此时，通解就是 基础解系的线性组合，即为： 齐次线性方程组基础解系的求法 1.行最简形矩阵： 设 r(A) =r n ,且不妨设A 中最左 上角的 r 阶子式不为零。则经有限 次行初等变换，矩阵 A 化为： 显然： 行最简形 为： 真未知量 自由未知量 由自由未知量 惟一确定 * * * * *