磨光法.doc

1990年第2期 数学教学通讯 完善一个不等式链 （安徽南陵县黄塘中学）张承宇 拙作[1]建立了下述不等式链：. (1) 其中的均为正数,G、A、Q分别是这个的几何平均数、算术平均数和平方平均数. 本文则给出不等式 (2) 当且仅当时等号成立.这里H是个的调和平均数,也即 . 下面,我们就用磨光法证明这个结论. 首先注意,如果,(2)式明显成立,为此我们事先假定这个不全相等,其中最大者设为,最小者设为. 由于 则有. 这就是说,一组正数若不全相等,那么它们的调和平均数必定比最小数大,而比最大数小,这在此后的证明中是要用到的. 现在,让我们作如下的变换:把最小数用来代替,把最大数用 来代替,而其余的数都不动它们,这样得到另一组数.也就是 ， . 由于 . 所以 更进一步有 如果新数组全相等了，那就罢了，如果新数组中的数不全相等，那就照着老规矩办理好了！例如又得到一组数.当然还有 . 特别要指出的是,只要不全相等,那么刚才换进去的那个H一定没被换掉,这是因为,H实际上也是这组数的调和平均数,而我们已强调过了,只要一组数不全相同,那么调和平均数必定不是最大数也不是最小数. 因此,由变成之后,后一组数中已经至少有两个H.如此下去,可以想见,至多次变换后,这个数就全换成H了.在此过程中,我们写出了不等式 . 至此(2)式证毕 本文曾蒙天津师范大学庞宗昱教授细心审阅,特此致谢! 磨光法 是数学中一种解不等式的方法。 简单的说，这种方法主要是使用平均数以减少所求证的多元不等式未知数的个数。 磨光法的一个重要例子是： 若要证不等式f(x) = (x,y,z) = t 则可先证f(x,y,z) = f((x + y) / 2,(x + y) / 2,z) = t 其中x,y,z,t属于R。 同样的，根据条件，我们还可以使用几何平均数等一系列平均数来代替上式中的算术平均数。