2012智轩第二基础基础导学桥第五章多元函数微分学.doc

第五章 多元函数微分学 2012考试内容 (本大纲为数学1，数学2-3需要根据大纲作部分增删) 多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限与连续的概念 有界闭区域上多元连续函数的性质 多元函数的偏导数和全微分 全微分存在的必要条件和充分条件 多元复合函数、隐函数的求导法 二阶偏导数 方向导数和梯度 空间曲线的切线和法平面 曲面的切平面和法线 二元函数的二阶泰勒公式 多元函数的极值和条件极值 多元函数的最大值、最小值及其简单应用 2012年考试要求 理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。 了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法。 掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。 了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。 了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 了解二元函数的二阶泰勒公式。 理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 一、“三基”内容及其拓展 1.1 . 二元函数的几何意义 或=0；定义域是平面上的一个区域，图形是一张曲面。 1.2. 全面极限（二重极限）与累次极限（二次极限） 1）全面极限（二重极限） ， 当 时，恒有，其中以任何方向和任何方式进行，而一元函数的极限只有左右两个方向和一条直线路径；倘若沿两条不同的特殊路径，不相等，则可判定极限不存在。 ●求全面极限的方法： 1。夹逼；2。一元化；3。抓大头与抓小头；4。沿经向极限相等，且与幅角无关。 ●证明全面极限不存在的方法： 1。沿经向极限与幅角有关；2。特殊路径的极限不存在； 3．累次极限存在不相等。 【例1】求和 解： 使用一元化技巧 【例2】 解：方法一：取特殊路径技巧。 可见，极限不存在。 方法二：抓小头。因为，故。 又如，根据抓大头和小头的规律，可直接得出下列结论 ； ； ； ； ； 【例3】讨论 解：强行代入，知分母当时为零，因此特殊路径可以考虑与相切的高次曲线，即形式。又因为分子的最低阶为3，要使极限可能存在，分母必须小于等于3。故取，。 由于极限与有关，故极限不存在。 又如，求，故极限不存在。 【例4】求和 解：无法一元化，使用夹逼法。 ，累次极限存在不等，故。 又如，对极限讨论方法相同。 评 注 利用经向路径讨论全面极限问题 当沿经向路径趋于时极限存在且相等，全面极限可能不存在，例如 极限与有关，故不存在。 当沿经向路径趋于时极限存在且相等，并关于幅角一致，则全面极限一定存在，例如 设是区域上的有界次齐次函数，讨论 由题意知 2）全面极限的脱帽法：其中：。 3）二次极限（累次极限） 为累次极限，如果连续，则。 如果 【例5】 解：二次极限 ，故二次极限不存在。 而二重极限 由于 可见，二重极限的存并不能保证二次极限的存在，反之亦然。 1.3. 二元函数的连续性的三种等价定义与可微定义 1.3.1 二元函数的连续性的三种等价定义 ①全增量定义法：， 如 ，则 在点连续，也就是说，求连续函数极限时，可以将的自变量直接代入计算极限。 ②全面极限定义法： 则 在点连续，它与一元函数的连续性定义形式上完全一致，可见，间断点的类型也一致。具体做法是：把值同时强行代入，如果能直接得出某一数，则连续，否则不连续。 ③ 无穷小定义法： 从上述定义可得常用等价形式： 1.3.2 二元函数的可微与全微分的定义 设函数在点的某邻域中的点，若 函数的全增量能够表示为 ，其中 ，则称函数在点可微，并称为在点 的全微分。显然，容易得到。即得可微的充要条件： 评 注 由于可微的定义是， 特别地，，与函数的连续定义 比较，易知可微可以保证连续，而连续不能保证可微。 因为，故它与可微定义是有本质区别的，上述两个数学关系在判断二元函数的连续与可微性方面十分有用。如果讨论的是点，则经常利用下列关系 ● 重要性质： 一切多元初等函数与一元函数一样，在其定义区间内是连续的。 连续函数的和、差、积、商（分母不为零）及复合函数都是连续函数。 多元初等函数的各阶偏导数仍然是初等函数，故在在其定义区间内也是连续的。 1.4. 偏导、全导、全微分进阶 ① 偏 导 1）定义：在内有定义，且，