1955年普通高等学校招生全国统一考数学试题.doc

1955年普通高等学校招生全国统一考试 数学 1．甲、以二次方程x2-3x-1=0的两根的平方为两根，作一个二次方程 解：设原方程的两根为α，β，则由根与系数关系可得： α+β=3，αβ=-1， 又，α2 +β2 =(α+β)2-2αβ=11， α2β2 =1， 故所求的二次方程为 x2-11x +1=0 A B D C 乙、等腰三角形的一腰的长是底边的4倍，求这三角形各角的余弦 解：设AB=AC=4BC，而AD为底边上的高， 于是 S D C O A B 丙、已知正四棱锥底边的长为，侧棱与底面的交角为450，求这棱锥的高 解：设S-ABCD为正四棱锥，SO为它的高， 底边长为，∠SAO=450∵AO= ∴由△SOA为等腰直角三角形， 故棱锥S-ABCD的高SO= 丁、写出二面角的平面角的定义 略 2．求b，c，d的值，使多项式x3+bx2+cx+d适合于下列三条件：（1）被x-1整除，（2）被x-3除时余2， （3）被x+2除时与被x-2除时的余数相等 解：根据余数定理及题设条件可得 f(1)=1+b+c+d =0…………………………………① f(3)=27+9b+3c+d=2………………………………② -8+4b-2c+d= 8+4b+2c+d…………………………③ 化简③式可得 c=-4将其分别代入①②可得 b+d=3 9b+d=-13 解得b=-2,d=5. 综上，b=-2,c=-4,d=5 F C G D A E B 3．由直角△ABC勾上一点D作弦AB的垂线交弦于E，交股的延长线于F，交外接圆于G求证：EG为EA和EB的比例中项，又为ED和EF的比例中项 证：连接GA、GB，则△AGB也是一个直角三角形因为EG为直角△AGB的斜边AB上的高，所以，EG为EA和EB的比例中项，即EG2=EA·EB ∵∠AFE=∠ABC，∴直角△AEF∽直角△DEB， 但是∵EG2=EA·EB，∴EG2=ED·EF（等量代换）. 故 EG也是ED和EF的比例中项 4．解方程,求x的通值 解：， 5．一个三角形三边长成等差数列，其周长为12尺，面积为6平方尺，求证这个三角形为一个直角三角形 证：可设其长分别为x-d,x,x+d. 因为三角形的周长为12尺， ∴(x-d)+x+(x+d)=12,∴x=4（尺） 于是该三角形的三边又可表示为 4-d,4,4+d.由该三角形的面积为6，三边长为4-d,4,4+d，代入求面积的计算公式，得 由此可知，该三角形三边的长为3、4、5（或5、4、3）（尺），故它是一个直角三角形