x09-3幂级数.ppt

§9-3 幂级数 1、幂级数及其收敛区间 2、幂级数的运算 例3. 例4. 求级数 例8 求极限 例9. * 1.定义: 简单幂级数 2.收敛性: 几何说明 收敛区域 发散区域 发散区域 证明 由(1)结论 定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间 -R , R. 规定 证明 由比值审敛法, 定理证毕. 例2 求下列幂级数的收敛区间: 解 该级数收敛 该级数发散 解 缺少偶次幂的项 级数收敛, 级数发散, 级数发散, 级数发散, 原级数的收敛区间为 收敛半径为R=1/4 ,当x=1/4时 发散 当x= - ? 前面证明过是收敛的 解 原级数收敛. 发散 收敛 故收敛区间为(0,1]. 广义幂级数 1.代数运算性质: (1) 加减法 (其中 证明： 2.和函数的分析运算性质: (收敛半径不变) 收敛区间(-1,1), 解 解: 由例2可知级数的收敛半径 R＝+∞. 则 故有 故得 的和函数 . 因此得 设 的和函数 解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , 及 收敛 , 因此由和函数的连续性得: 而 及 例5 解 两边逐项积分 解 收敛区间(-1,1), * * *