东安一中2010年数学奥赛一试测试2.doc

东安一中2010年数学奥赛一试测试题（2） 满分:120分 时间:80分钟 姓名: 一．填空题(本题满分64分，每小题8分) 1， 若点是圆内的动点,则函数的一个零点在内, 另一个零点在内的概率为 2、 已知ABCD-是边长为1的正方体，P为线段上的动点，Q为底面ABCD上的动点，则的最小值为 3，不等式的解集是 4. 给定（）与其外接圆，令P为劣弧上之一点，异于B、C，连交于Q，的最小值是 5．已知定点，点的坐标满足当（为坐标原点）的最小值是时，实数的值是 ． 6， 7. 已知数列，满足, 且， 则= 二．解答题(第9,10,11题分别为16,20,20分，共56分) 9, 对于函数f(x),若f(x)=x,则称x为f(x)的“不动点”，若，则称x为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即}，. (1). 求证：AB (2).若，且，求实数a的取值范围. 10, 已知A,B 分别为曲线C： +=1（y0,a0）与x轴的左、右两个交点，直线过点B,且与轴垂直，S为上异于B的一点，连结AS交曲线C于点T. (1)若曲线C为半圆，点T为圆弧的三等分点，试求出点S的坐标； （II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在,使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 11, 定义函数． （1）令函数的图象为曲线，求与直线垂直的曲线的切线方程； （2）令函数的图象为曲线，若存在实数b使得曲线在处有斜率为的切线，求实数a的取值范围； （3）当，且时，证明：． w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 东安一中2010年高中数学奥赛培训 陈雄武 1 P(x,y) 8. 根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O沿正东偏北（）方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间， 但何时改变方向不定。假定机器人行走速度为 10米/分钟，则机器人行走2分钟时的可能落点 区域的面积是 。 A y x O