第十章圆锥曲线方程(第四讲答案).doc

第十章圆锥曲线方程 第四讲直线与圆锥曲线的位置关系（第一课时） 【回顾与思考】的方程代入曲线C的方程，消去y或者消去x，得到一个关于x（或y）的方程ax2+bx+c=0. （1）交点个数 ①当 a=0或a≠0，⊿=0 时,曲线和直线只有一个交点; ②当 a≠0,⊿0时,曲线和直线有两个交点; ③ 当⊿0 时,曲线和直线没有交点; (2) 弦长公式： 2.对称问题： 曲线上存在两点关于已知直线对称的条件：①曲线上两点所在的直线与已知直线垂直（得出斜率）②曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点（⊿0）③曲线上两点的中点在对称直线上 （1）点关于点对称：点(x,y)关于点(a,b)对称点的坐标为 。 （2）曲线关于点对称：曲线（或直线）f(x,y)关于点(a,b)对称的曲线方程为　　　　　　　　　　　　。　　 （３）点关于直线对称：点A(x,y)关于直线y=kx+b对称点为A’(x,y)，则有　　　　　　　　　　　　　　　　　。 考点1 直线与圆锥曲线的位置关系 3、解题思路 （1）.体会“设而不求”在解题中的简化运算功能 ①求弦长时用韦达定理设而不求 ②弦中点问题用“点差法”设而不求 （2）.体会数学思想方法（以方程思想、转化思想、数形结合思想为主）在解题中运用 考点一：交点个数问题 1、直线y=ax-1与抛物线y2=x只有一个交点，则a= 0或-1/4 . 2、已知将圆上的每一点的纵坐标压缩到原来的,对应的横坐标不变,得到曲线C；设，平行于OM的直线在y轴上的截距为m(m≠0),直线与曲线C交于A、B两个不同点. (1)求曲线的方程； (2)求m的取值范围. [解析]（1）设圆上的动点为压缩后对应的点为，则， 代入圆的方程得曲线C的方程： （2）∵直线平行于OM，且在y轴上的截距为m,又, ∴直线的方程为. 由 , 得 ∵直线与椭圆交于A、B两个不同点， ∴ 解得. ∴m的取值范围是. 考点二：与弦中点有关的问题 3、已知点A、B的坐标分别是，.直线相交于点M，且它们的斜率之积为－2. (Ⅰ)求动点M的轨迹方程; (Ⅱ)若过点的直线交动点M的轨迹于C、D两点, 且N为线段CD的中点，求直线的方程. 【解题思路】弦中点问题用“点差法”或联立方程组，利用韦达定理求解 [解析] (Ⅰ)设， 因为,所以化简得: (Ⅱ) 设 当直线⊥x轴时,直线的方程为,则,其中点不是N,不合题意 设直线的方程为 将代入得 …………(1) …………(2) (1)-(2)整理得: 直线的方程为 即所求直线的方程为 解法二: 当直线⊥x轴时,直线的方程为,则, 其中点不是N,不合题意. 故设直线的方程为,将其代入化简得 由韦达定理得, 又由已知N为线段CD的中点,得,解得, 将代入(1)式中可知满足条件. 此时直线的方程为,即所求直线的方程为 【方法总结】通过将C、D的坐标代入曲线方程，再将两式相减的过程，称为代点相减．这里，代点相减后，适当变形，出现弦PQ的斜率和中点坐标，是实现设而不求（即点差法）的关键．两种解法都要用到“设而不求”，它对简化运算的作用明显，用“点差法”解决弦中点问题更简洁 4、椭圆的弦被点所平分，求此弦所在直线的方程 [解析]设弦所在直线与椭圆交于两点，则 ，，两式相减得：， 化简得， 把代入得 故所求的直线方程为，即 3.已知直线y=－x+1与椭圆相交于、两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，此椭圆的离心率 ?设，AB的中点为, 代入椭圆方程得，, 两式相减,得. AB的中点为在直线上，，，而 题型3：与弦长有关的问题 [例3](山东泰州市200～200联考 已知直线被抛物线截得的 弦长为20，为坐标原点． （1）求实数的值； （2）问点位于抛物线弧上何处时， △面积最大？ 【解题思路】用“韦达定理”求弦长；考虑△ 面积的最大值取得的条件 析]（1）将代入得， 由△可知， 另一方面，弦长AB，解得； （2）当时，直线为，要使得内接△ABC面积最大， 则只须使得， 即，即位于（4，4）点处． 考点4 定点，定值的问题 题型：论证曲线过定点及图形（点）在变化过程中存在不变量 [例6] 已知P、Q是椭圆C：上的两个动点，是椭圆上一定点，是其左焦点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。 求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A； 【解题思路】利用“|PF|、|MF|、|QF|成等差数列”找出两动点间的坐标关系 证明：设知 同理 ①当， 从而有 设线段PQ的中点为， 得线段PQ的中垂线方程为 得线段P