高等数学第七章07-04.ppt

第四节、一阶线性微分方程 一、线性方程 2. 解非齐次方程 例3. 有一电路如图所示, 因此所求电流函数为 二、伯努利方程 三、小结 思考与练习 作业 备用题 2. 设有微分方程 2) 再解定解问题 伯努利(1654 – 1705) 上一页 下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 一、线性方程 二、伯努利方程 三、小结 一阶线性微分方程的标准形式: 方程称为齐次的. 方程称为非齐次的. 齐次方程的通解为 1. 线性齐次方程 一阶线性微分方程的解法 (使用分离变量法) 2. 线性非齐次方程 讨论 两边积分 非齐次方程通解形式 与齐次方程通解相比: 常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换. 作变换 对应齐次方程通解 齐次方程通解 非齐次方程特解 用常数变易法: 则 故原方程的通解 即 即 作变换 两端积分得 解 例1 例2 如图所示，平行与 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 . 两边求导得 解 解此微分方程 所求曲线为 在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0 电阻 R 和电 ～ 解: 列方程 . 已知经过电阻 R 的电压降为R i 经过 L的电压降为 因此有 即 初始条件: 由回路电压定律: 其中电源 求电流 感 L 都是常量, ～ 解方程: 由初始条件: 得 利用一阶线性方程解的公式可得 暂态电流 稳态电流 ～ 解的意义: 伯努利(Bernoulli)方程的标准形式 方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程. 解法: 需经过变量代换化为线性微分方程. 求出通解后，将 代入即得 代入上式 解 例 3 例4 用适当的变量代换解下列微分方程: 解 所求通解为 解 分离变量法得 所求通解为 解 代入原式 分离变量法得 所求通解为 另解 1.齐次方程 2.线性非齐次方程 3.伯努利方程 判别下列方程类型: 提示: 可分离 变量方程 齐次方程 线性方程 线性方程 伯努利方程 P281 1 (6) , (9) ; 2 (5) ; 7 (3) , (5) 1. 求一连续可导函数 使其满足下列方程: 提示: 令 则有 利用公式可求出 其中 试求此方程满足初始条件 的连续解. 解: 1) 先解定解问题 利用通解公式, 得 利用 得 故有 此齐次线性方程的通解为 利用衔接条件得 因此有 3) 原问题的解为 ( 雅各布第一 · 伯努利 ) 书中给出的伯努利数在很多地方有用, 瑞士数学家, 位数学家. 标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年 版了他的巨著《猜度术》, 上的一件大事, 而伯努利定理则是大数定律的最早形式. 年提出了著名的伯努利方程, 他家祖孙三代出过十多 1694年他首次给出了直角坐 1713年出 这是组合数学与概率论史 此外, 他对 双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 . 上一页 下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 王文强