贝努利不等式在高考中的应用.doc

贝努利不等式在高考中的应用 贝努利不等式：对任意正整数n≥0，和任意实数x≥-1，有 成立； 如果n≥0且为偶数，则不等式对任意实数x成立。可以看到在n = 0,1，或x= 0时等号成立，而对任意正整数n≥2 和任意实数x≥-1且x≠0，有严格不等式： ＞1+nx 下面把伯努利不等式推广到实数幂形式： 若m ≤0或m≥ 1，有≥ 1 + mx ；若0 ≤ m≤ 1，有≤ 1 + mx 证明方法如下： 如果m=0，1，则结论是显然的 　　 如果m≠0，1，作辅助函数, 那么, 则 x=0; 　　下面分情况讨论： 　　1. 0 m 1，则对于x 0， 0；对于 ? 1 x 0， 0。因此在x = 0处取最大值0，故得 ≤ 1 + mx。 　 m 0或m 1，则对于x 0， 0；对于 ? 1 x 0， 0。因此在x = 0处取最小值0，故得≥ 1 + mx 《标准》所指的贝努利不等式是： (x-1，n为正整数)． ① 注不等式①中的条件“n为正整数”可推广为“n为大于l的实数”， 推论1设n∈N+，，nl，t0，则有 ≥1+n(t一1)， ②当且仅当t=l时，②取等号． ②的证明可由恒等式 ③ 直接推出． 易见，当且仅当t=1时，②取等号，因此当且仅当x=0时，①取等号． 在①中令x+l=t，则①可变为②或③,因此不等式①与②是等价的．因此不等式①与②都可以称为贝努利不等式． 推论2设0，n∈N+，n1，则, ④当且仅当时，④取等号． 证明由②得， 例题精讲 1.（2007，湖北理5）已知和是两个不相等的正整数，且，则 （ C ） A．0 B．1 C． D． 解答：由于 所以 令，分别取和，则原式化为 所以原式=（分子、分母1的个数分别为个、个） 法二：根据贝努利不等式可知当时， = 1 + mx ，故对于此题有当有 ，所以 2.（2007，湖北理21）已知为正整数， （1）用数学归纳法证明：当时，； （2）对于，已知，求证，求证，； （3）求出满足等式的所有正整数． 解法1：（1）证：用数学归纳法证明： （ⅰ）当时，原不等式成立；当时，左边，右边， 因为，所以左边右边，原不等式成立； （ⅱ）假设当时，不等式成立，即，则当时， ，，于是在不等式两边同乘以得 ， 所以．即当时，不等式也成立． 综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数，不等式都成立． （2）证：当时，由（Ⅰ）得， 于是，． （3）解：由（Ⅱ）知，当时， ， ． 即．即当时，不存在满足该等式的正整数． 故只需要讨论的情形： 当时，，等式不成立；当时，，等式成立； 当时，，等式成立； 当时，为偶数，而为奇数，故，等式不成立； 当时，同的情形可分析出，等式不成立． 综上，所求的只有． 解法2：（1）证：当或时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明： 当，且时，，．　　① ①当时，左边，右边，因为，所以，即左边右边，不等式①成立； ②假设当时，不等式①成立，即，则当时， 因为，所以．又因为，所以． 于是在不等式两边同乘以得 ， 所以．即当时，不等式①也成立． 综上所述，所证不等式成立． （2）证：当，时，，， 而由（1），，． （3）解：假设存在正整数使等式成立， 即有．　　　　　② 又由（2）可得 ，与②式矛盾． 故当时，不存在满足该等式的正整数．下同解法1． 3.（2001，全国理20) 已知i，m，n是正整数，且1＜i≤m＜n (1 )证明 nipim＜mipin； ( 2 )证明 (1+m)n(1+n)m 证明:(1)略 (2)因为1＜m＜n , 1 ,由贝努利不等式有,所以(1+m)n(1+n)m 4.(2007,四川理22）设函数 . (1)当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项; (2)对任意的实数x,证明＞ (3)是否存在,使得an＜＜恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由. （1）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是 （2）证法一：因为 证法二：因 而故只需对和进行比较。 令，有 由，得 因为当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在处有极小值 故当时，，从而有，亦即 故有恒成立。所以，原不等式成立。 （3）对，且有 又因，故 ∵，从而有成立，即存在，使得恒成立。 5.(2003，江苏理)已知 为正整数。 （1）设 ，证明 设