等差数列前n项和性质上课用.ppt

例.若一个等差数列前3项和为34，最后三项和为146，且所有项的和为390，则这个数列共有______项。 * 等差数列的前n项和公式: 形式1: 形式2: 复习回顾 .将等差数列前n项和公式 看作是一个关于n的函数，这个函数 有什么特点？ 当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数 则 Sn=An2+Bn 令 等差数列{an}前n项和的性质 性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n, …也在等差数列,公差为 在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有 性质2:(1)若项数为偶数2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中间两项), 此时有:S偶－S奇= , n2d nd 性质2:(2)若项数为奇数2n－1,则 S2n-1=(2n－ 1)an (an为中间项), 此时有:S奇－S偶= , 两等差数列前n项和与通项的关系 性质4:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则 性质3: 为等差数列. an 等差数列的性质应用： 例1、已知一个等差数列前n项和为25， 前2n项的和为100，求前3n项和。 例2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( ) A.63 B.45 C.36 D.27 例3.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=( ) A.85 B.145 C.110 D.90 B A 3.等差数列{an}前n项和的性质的应用 等差数列的性质应用： 例4、已知等差数列 的前10项之和 为140，其中奇数项之和为125 ， 求第6项。 解：由已知 则 故 解一：设首项为a1,公差为d,则 例. 一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差。 由 解二： 例5. 一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差。 等差数列的性质应用： 例、已知一个等差数列的总项数为奇数， 且奇数项之和为77，偶数项之和为 66，求中间项及总项数。 解：由 中间项 得中间项为11 又由 得 例6.两等差数列{an} 、{bn}的前n项和分别是Sn和Tn,且 求 和 . 等差数列{an}前n项和的性质的应用 例6.(09宁夏)等差数列{an}的前n项的和为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m= . 例7.设数列{an}的通项公式为an=2n-7,则|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|= . 10 153 等差数列{an}前n项和的性质的应用 例8.设等差数列的前n项和为Sn,已知a3=12,S120,S130. (1)求公差d的取值范围; (2)指出数列{Sn}中数值最大的项,并说明理由. 解:(1)由已知得 a1+2d=12 12a1+6×11d0 13a1+13×6d0 等差数列{an}前n项和的性质 (2) ∵ ∴Sn图象的对称轴为 由(1)知 由上得 即 由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值. ∴Sn有最大值. 等差数列的性质应用： 例9：已知等差数列 中， 求 的值。 解法1： 代入下式得： 解法2：设 解法3：由已知 两式相减得 例7.已知数列 前n项和 ， （1）求证： 为等差数列； （２）记数列 　的前项和为 ， 求 　的表达式. } { n a 例8. 已知正整数数列 中,前n项和 满足 求证: 为等差数列.