第十章微分方程10-5.ppt

微分方程 二、线性微分方程的解的结构 三、二阶常系数齐次线性方程解法 四、二阶常系数非齐次线性微分方程 五、小结 经 济 数 学 下页 返回 上页 二、线性微分方程解的结构 三、二阶常系数齐次线性方程解法 五、小结　思考题 第五节　二阶常系数线性微分方程 四、二阶常系数非齐次线性方程解法 一、定义 1.二阶齐次方程解的结构 一、定义 二阶常系数齐次线性方程: 二阶常系数非齐次线性方程: 问题: 例如 观察有 2.二阶非齐次线性方程的解的结构 解的叠加原理 -----特征方程法 将其代入上述方程, 得 故有 特征方程 特征根 1)有两个不相等的实根 两个线性无关的特解 得齐次方程的通解为 特征根为 2) 有两个相等的实根 一特解为 得齐次方程的通解为 特征根为 3)有一对共轭复根 由定理1得两个解 得齐次方程的通解为 特征根为 定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法. 解 特征方程为 解得 故所求通解为 例1 解 特征方程为 解得 故所求通解为 例2 二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程 通解结构 常见类型 难点：如何求特解？ 方法：待定系数法. 设非齐次方程特解为 代入原方程并整理得 1. 型 综上讨论 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 代入方程, 得 原方程的通解为 例4 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 代入方程, 得 原方程的通解为 例5 特别地 解 对应齐次方程通解 代入原方程求得 原方程通解为 例6 解 对应齐次方程通解 代入原方程求得 例7 原方程通解为 1.线性方程解的结构； 2.二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解. 作业 P410 1; 2; P415 1(1), (4), (7); 2(1), (2); P425 1; 3(2), (3); 4(1), (2); 6(1)- (4) ( 待定系数法求特解 )