7.统计第七课.ppt

* 考试安排 考试时间： ？ 考试地点：？ 本课内容 正则系综（N，V，T）： 1、正则分布 2、正则分布的热力学公式 3、正则分布应用举例 巨正则系综（?，V，T）： 1、巨正则分布 2、巨正则分布的热力学公式 3、巨正则分布应用举例:玻色－费米分布的导出（自学） 什么是系综？ 当微观状态处在体积元d?内时，微观量B的数值为B（q，p）。微观量B在一切可能的微观状态上的平均值（宏观量）为： 为了形象的表示上式给出的统计平均值，我们设想有大量结构完全相同的系统，处在相同的给定的宏观条件下。这大量系统的集合称为系综。显然，在统计系综所包含的大量系统中，在时刻t运动状态处在d?内的系统数目将与?（q，p，t）成正比。如果在时刻t，从统计系综中任意选取一个系统，这个系统处在d?内的概率为： ?（q，p，t）dt。这样，上式可以看作是微观量B在统计系综上的平均值。 微正则分布【（N，V，E）系统】： 一切可能的微观状态出现的概率都相等（等概率原理）。这也称为微正则分布（N，V，E）。 正则分布【（N，V，T）系统】： 前面讨论了处在平衡态的孤立系统的分布函数－微正则分布。研究的系统的粒子数、体积和能量不变，即：N，V，E系统。 对于孤立系统，每个微观状态出现的概率都相等。 在实际问题中往往需要讨论具有确定的粒子数、体积和温度的系统。这种系统的分布称为正则分布，即：N，V，T系统。 微正则分布【（N，V，E）系统】： 巨大的热源T N，V，T系统 N，V，T系统，可以设想为与巨大的热源接触而达到平衡的系统。系统和热源之间存在着热量交换，所以系统的可能的微观状态具有不同的能量。由于热源巨大，所以接触不会改变热源的温度，因此平衡时两者具有系统的温度。 正则分布【（N，V，T）系统】： 我们可以把热源和系统合起来看作是一个复合系统。这种系统具有固定的能量E，体积V和粒子数目N，是一个孤立系统。假设热源和系统之间的相互作用很弱，则复合系统的能量为： 由于热源很大，所以必然有： 当系统处在能量为Es的状态时，热源可处在能量为E（0）－Es的任何一个微观状态。以?r（E（0）－Es）表示能量为E（0）－Es的热源的微观状态数目。那么，当系统处在S态时，复合系统的微观状态数目为： ?r（E（0）－Es）。复合系统是一个孤立系统，它的每一个微观状态出现的概率是相等的，总的微观状态数目为常数：?isolated（E（0）） 。所以，系统处在S态的概率与?r（E（0）－Es）成正比。即： 正则分布【（N，V，T）系统】： 复合系统的微观状态数目?r（E（0）－Es）是一个极大的数。它随着能量E的增加而迅速增加。所以讨论其对数ln?r比较方便。 这是热源的熵函数。不是复合系统的。为什么？ T是热源的温度。系统与热源达到热平衡时，T也是系统的温度，上式中右方第一项对于系统来说是常数。所以有： 正则分布【（N，V，T）系统】： 将?s规一化，有： 这样，就得到了系统处在状态S上的概率。左式中的Z称为配分函数。很明显，它与微正则分布不同。 上式给出了具有确定的粒子数N，体积V和温度T的系统的分布函数。式中的配分函数Z有下式计算： 左边的求和是：对粒子数为N和体积为V的系统的所有的微观状态求和。需要考虑粒子的全同性。 上面给出的式子表明，系统处在微观态S上的几率只是与态S的能量Es有关。假设用El表示系统的能级，?l表示该能级的简并度（l＝1，2，…），则系统处在能级El的概率为： 则配分函数可以改写成： 正则分布【（N，V，T）系统】： 上式是正则分布的量子表达式。正则分布的经典表达式为： 正则分布的量子表达式如下。其中的求和遍及所有的能级。 请注意：系统的能级的简并度与在能量准连续时的态密度之间的关系。（类似于前面所学的知识）。 由正则系综导出分布【（N，V，T）系统】函数： 前面利用孤立系统的方法导出正则分布。下面利用正则系综导出分布函数。设想大量具有确定的N，V，T值，而且微观结构完全相同的系统组成一个集合，称为正则系综。系综中的一个成员就是我们研究的对象（虚线方框内），其他的系统的和组成热源，或者说外部环境。由于系统和热源达到平衡时，它们之间交换的能量甚小，所以系综中各个系统之间的相互作用可以忽略。这样，我们就可以利用类似于近独立粒子系统的方法处理了（把每个系统看作是巨粒子）。 A A A A A A A A A A A A 假设系综内巨粒子（系统）的总数目为M（M1），则系综的总能量?为各个系统的能量U的和。假设有Ms个系统处在能级为Es的微观状态上，则任意分布{Ms}满足两个约束方程： 对于任一分布{Ms}，系综的微观状态数目为：要确定系综的一个微观态，必须确定系综内各个系统所处的量子态。因为系统在空间内位置可以分辨，所以系综的微观状态数目为：