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2012年北京市中考数学二模代数几何综合题及答案
2012年北京市中考数学二模代数几何综合题及答案
目录: 四、朝阳25题 八、丰台25题 十二、顺义25题 一、海淀24题 五、石景山25题 九、昌平24题 十三、平谷25题 二、西城25题 六、延庆25题 十、通州24题 十四、房山25题 三、东城25题 七、密云24题 十一、延庆无题
一、海淀24题
如图, 在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴负半轴交于点A, 顶点为B, 且对称轴与x轴交于点C.
(1)求点B的坐标 (用含m的代数式表示);
(2)D为BO中点,直线AD交y轴于E,若点E的坐标为(0, 2), 求抛物线的解析式;
(3)在(2)的条件下,点M在直线BO上,且使得△AMC的周长最小,P在抛物线上,
Q在直线 BC上,若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐
标.
备用图
【参考答案】24.解:(1)∵,
∴抛物线的顶点B的坐标为. ……………………………1分
(2)令,解得, .
∵ 抛物线与x轴负半轴交于点A,
∴ A (m, 0), 且m0. …………………………………………………2分
过点D作DF(x轴于F.
由 D为BO中点,
∴ DF =
由抛物线的对称性得 AC = OC.
∴ AF : AO=3 : 4.
∵ DF //EO,
∴ △AFD∽△AOE.
∴
由E (0, 2),B,得OE=2, DF=.
∴
∴ m = -6.
∴ 抛物线的解析式为. ………………………………………3分
(3)依题意,得A(-6,0)、B (-3, 3)、C (-3, 0).可得直线OB的解析式为,
直线BC为. 作点C关于直线BO的对称点C ((0,3),连接AC (交BO
于M,则M即为所求.
由A(-6,0),C( (0, 3),可得
直线AC(的解析式为.
由 解得
∴ 点M的坐标为(-2, 2). ……………4分
由点P在抛物线上,设P (t,△AMG≌△P1Q1H .
可得P1H= AG=4.
∴ t -(-3)=4.
∴ t=1.
∴. ……………………5分
(如右图,同(方法可得 P2H=AG=4.
∴ -3- t =4.
∴ t=-7.
∴. ……………………6分
(ⅱ)当AM为所求平行四边形的对角线时,
如右图,过M作MH(BC于H,
过P3作P3G( x轴于G,
则xH= xB =-3,xG==t.
由四边形AP3MQ3为平行四边形,
可证△A P3G≌△MQ3H .
可得AG= MH =1.
∴ t -(-6)=1.
∴ t=-5.
∴. ……………………………………………………7分
综上,点P的坐标为、、.
[注]在确定平行四边形时,如果知一边的两点坐标,可以用平移的方法,得到其对边的点的坐标,可使解答简捷。
二、西城25题
在平面直角坐标系xOy中,抛物线的顶点为M,直线,点为轴上的一个动点,过点P作轴的垂线分别交抛物线和直线于点A,点B.
⑴直接写出A,B两点的坐标(用含的代数式表示);
⑵设线段AB的长为,求关于的函数关系式及的最小值,并直接写出此时线段OB与线段PM的位置关系和数量关系;
(3)已知二次函数(,,为整数且),对一切实数恒有
≤≤,求,,的值.
【参考答案】25.解:(1),. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分
(2) =AB==.
∴ ==.﹍﹍3分
∴ 当时,取得最小值. ﹍﹍ 4分
当取最小值时,线段OB与线段PM的位置
关系和数量关系是OB⊥PM且OB=PM. (如图10)
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 5分
(3) ∵ 对一切实数恒有 ≤≤,
∴ 对一切实数,≤≤都成立. () ①
当时,①式化为 0≤≤.
∴ 整数的值为0. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 6分
此时,对一切实数,≤≤都成立.()
即 对一切实数均成立.
由②得 ≥0 () 对一切实数均成立.
∴
由⑤得整数的值为1. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍7分
此时由③式得,≤对一切实数均成立. ()
即≥0对一切实数均成立. ()
当a=2时,此不等式化为≥0,不满足对一切实数均成立.
当a≠
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