高等数学第四章12(更新版).ppt

第四章 多元函数微积分 一、空间直角坐标系 一元函数的定义 设数集 ,则称映射f： 为定义在D上的函数 (function). 记为: 变量x 称为自变量(independent variable); 变量y 称为因变量(dependent variable); 因变量与自变量间的依赖关系称为函数关系; 二元函数的定义 邻域 邻域 区域 区域 例平面点集E 区域 设D是开集，如果对于D内任何两点，都可用属于D内的折线连接起来，则称开集是连通的。 连通的开集称为区域或开区域。 开区域连同它的边界一起，称为闭区域 区域 对于平面点集E，如果存在某一正数r， 用不等式表示区域 一元函数的极限 三、 二元函数的极限与连续 2.二元函数的连续性 二元函数连续性性质 有限个连续函数的和、差、积仍是连续函数 在分母不为零处，连续函数的商还是连续函数 连续函数的复合函数也是连续函数 二元初等函数在其定义区域内连续 在有界闭区域D上连续的二元函数，在D上一定能取到最大值和最小值；（最值定理） 在有界闭区域D上连续的二元函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任意值至少一次(介值定理) 可以推广到n元函数 一、偏导数的定义及其计算法 三、高阶偏导数(Partial derivatives of higher order) 可微的条件 第2节偏导数与全微分小结 已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数)? 求证? ; 偏导数的记号是一个整体记号? 不能看作分子分母之商 解： 一元函数导数的几何意义 二、偏导数的几何意义 二、偏导数的几何意义 如图 几何意义: 混合偏导 定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 纯偏导 二元函数 的图形 y=f(x)是平面上的一条曲线。 说明：二元函数的图形通常是一张曲面. 例如 0 x z y D 半球面 描述性定义: 当自变量x以任意方式无限地趋近于 时,若函数f(x)无限地趋近于一个常数A,则称:当 时,函数f(x)以A为极限. 记为: 1.二元函数的极限 注意： （2）定义中 的方式是任意的； （3）二元函数的极限也叫二重极限 （1）二元函数的极限运算法则与一元函数类似． （4）二重极限 不同于二次极限 例1 求极限 解 其中 多元函数的极限可以应用 一 元 函 数 求 极 限 的 法 则 例2 证明 不存在． 证 取 其值随k的不同而变化， 故极限不存在． 一元函数连续的定义 1）定义 2)间断点 函数的间断点的判定（只要满足下列一条）： 例3 讨论函数 在(0,0)的连续性． 解 取 其值随k的不同而变化， 极限不存在． 故函数在(0,0)处不连续． 多元初等函数：由常数和含有多个自变量的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的函数叫多元初等函数 多元初等函数在其定义区域是连续的． 初等函数: 例4 解 例5 解 b a f(b) C f(x) f(a) 闭区间上连续函数的性质 b f(x) a a b y x 思考判断题 不能。无数条不能代表任意方式 第1节 多元函数小结 空间直角坐标系 二元函数的概念、连续、间断点、极限 平面区域的表示法 相关习题：习题4：1～5. 第2节 偏导数与全微分 (Partial derivative total differentiation) 目的与要求 理解偏导数的概念与几何意义 熟练掌握求二元函数的一、二阶偏导数 理解全微分的概念并会求二元函数的全微分 一元函数导数的定义 问题的提出 一元函数的导数定义为函数增量与自变量增量的比值的极限，它刻画了函数对于自变量的变化率。 对于多元函数来说，虽然自变量的个数增多了，我们仍然可以考虑函数对某一个自变量的变化率，亦即其中一个自变量发生变化，而其余自变量都保持不变的情形下，考虑函数对于该自变量的变化率。 比如：一定量理想气体的体积V，压强P与绝对温度T之间存在着某种联系，我们可以在等温条件下，考察体积对于压强的变化率。 多元函数对某一个自变量的变化率引出了多元函数的偏导数概念 偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如三元函数 在 处 解