高等数学复习：第七章定积分的应用1.doc

第七章定积分的应用 7．1 定积分在几何上的应用 数学定义：设在上有定义，存在一个实数I，对于，对任意分割，当时，对任意，都有：，则称在可积，I称为在的积分，为被积函数，记为 待求的物理量U能用定积分表示，必须有以下特点： U与自变量的一个变化区间联系； U对具有可加性，若对， 在每一个 常采用微元法： 选定待求量U与自变量，定出变化区间； ，选定区间代表， 称为U的微元； 为被积表达式， 7．2 平面图形的面积 1．直角坐标系 1） 2） 例1：求由所围成的面积。 解：方法I： 方法II： 例2：求所围成的面积。 解： 例3：将椭圆分成两块，小块为A，大块为B，求 解：椭圆 椭圆面积S= 例4：求与轴围成的面积。 解： 2极坐标的情况 例1：求心脏线所围成的面积。 解： 例2：求双纽线所围成图形的面积 解： 7．3 旋转体的体积 定义：平面图形绕者它所在平面内的一条直线旋转一周所围成的立体体积称为旋转体，这条直线称为旋转轴。 图形 图形 图形 应用举例： 例1：平面图形与轴所围成图形绕旋转所围成的体积 例2：位于内，而在抛物线外部区域D绕轴旋转后的体积。 解： 例3：图形绕旋转一周的体积 解：由 因此： 7．4 由平面截面面积求体积 设空间物体的截面面积为 例1：求椭球所围成立体的体积。 解：任取的截面 7．5 平面曲线的弧长，曲率 定义1：设平面曲线弧L的两个端点A，B，在L上任取分割点：存在 则极限为L的弧长。 定义2：光滑曲线：在连续，并且，则称为光滑曲线。 定理1：设为光滑曲线，是可求长的，且 特例：1）连续 2）连续 3）连续， 例1：求的弧长 解： 例2：求介于间的一段弧的长度。 解： 例3：求心脏线的长度。 解： 7．6 平面曲线的曲率 设平面曲线有连续的二阶导数，P为L上的一点，在P点处L的切线与X轴正向夹角为，Q为L上的另一点，Q点处L的切线与X轴正向夹角为，则称为弧平均曲率，这里弧长度，存在，则称为曲线L在点P的曲率。 而： 又 因此： 特例： 定义：若L的曲率为K，则曲率半径为。 例1：求悬链线的曲率。 解： 7．7定积分在物理上的应用 1．功 例1：一个半径为R的办球形水池，池中盛满了水，求将全部池中的水抽到池外所做的功。 解： 2．液压 例2：一个横放着的圆柱形油捅，桶中盛有半桶油，设桶的底半径为R，油的体密度为，计算桶的一个端面上所受的油的压力。 解： 3．静矩与重心 设平面有个支点：，它们的质量为 则质点组对轴和轴的静矩分别为： 质点组的重心坐标： 例1：求半径为R的匀质半圆弧的重心。 解：设半圆弧的参数方程：，则 例2：求均匀薄板的静矩与重心坐标：薄板的形状为和坐标轴围城的曲边梯形。 解： 4 转动惯量 设平面有个支点：，它们的质量为，他们到某个固定轴的距离为， 则质点组对某个固定轴的转动惯量：： 例1：设有一均匀杆，长，固定轴为通过细杆的中心与细杆垂直，求此杆的转动惯量。 解： 例2：设有一个半径为R的匀质圆盘，求它对通过圆心垂直的固定轴的转动惯量。 解： 5．引力 质量分别为，距离为的两个质点的引力为 例1：设有一个长度为的均匀直棒，在其中垂线上距离棒处有一个质量为的质点，求该棒对质点的引力。 解： 综合选讲 例1：过原点，当，又与轴所围成的面积，试确定使此图形轴一周的体积最小。 解： 因此在，V最小，。 例2：在曲线上某点作切线。使该曲线、切线、与轴围成的面积，并求此图形绕轴旋转一周所围成的体积。 解：在曲线上取一点，过的切线方程为： 因此切线方程为： 例3：平放着的半径为，质量为M的均匀圆盘中心上放处有一个质量为的质点，求它们之间的引力。 解： 例4：绕轴旋转一周曲面的面积，这里有连续的导数。 解：圆台的面积=（上底的半径+下底的半径）母线的长度 例5：求曲线的全长。 解： 9