2010全国高中数学联赛试题及答案.docVIP

2010年全国高中数学联合竞赛一试试卷 （考试时间：10月17日上午8∶00—9∶20） 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上． 1．函数的值域是 ． 2．已知函数的最小值为，则实数的取值范围是 ． 3．双曲线的右半支与直线围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 ． 4．已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，其中，，，，且存在常数，使得对每一个正整数都有，则 ． 5．函数（，）在区间上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 ． 6．两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷．先投掷人的获胜概率是 ． 7．正三棱柱的9条棱长都相等，是的中点，二面角，则 ． 8．方程满足的正整数解（，，）的个数是 ． 二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本小题满分16分）已知函数（），当时，，试求的最大值． 10．（本小题满分20分）已知抛物线上的两个动点（，）和（，），其中且．线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的最大值． 11．（本小题满分20分）证明：方程恰有一个实数根，且存在唯一的严格递增正整数数列，使得． 解 答 1. 提示：易知的定义域是，且在上是增函数，从而可知的值域为. 2. 提示：令，则原函数化为，即 . 由，， 及 知 即 . （1） 当时（1）总成立； 对；对.从而可知 . 3. 9800 提示：由对称性知，只要先考虑轴上方的情况，设与双曲线右半支于,交直线于，则线段内部的整点的个数为，从而在轴上方区域内部整点的个数为 . 又轴上有98个整点，所以所求整点的个数为. 4. 提示 ：设的公差为的公比为，则 （1） ， （2） （1）代入（2）得，求得. 从而有 对一切正整数都成立，即 对一切正整数都成立. 从而 ， 求得 ，. 5. 提示：令则原函数化为,在上是递增的. 当时，, ， 所以 ； 当时，， ， 所以 . 综上在上的最小值为. 6. 提示：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为，从而先投掷人的获胜概率为 . 7. 提示：解法一：如图，以所在直线为轴，线段中点为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则，从而，. 设分别与平面、平面垂直的向量是、，则 由此可设 ，所以，即 . 所以 . 解法二：如图， . 设与交于点 则 . 从而平面 . 过在平面上作,垂足为. 连结,则为二面角的平面角.设,则易求得. 在直角中，,即 . 又 . . 8. 336675 提示：首先易知的正整数解的个数为 . 把满足的正整数解分为三类： （1）均相等的正整数解的个数显然为1； （2）中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设两两均不相等的正整数解为. 易知 ， 所以 ， 即 . 从而满足的正整数解的个数为 . 9. 解法一： 由 得 . 所以 ， 所以. 又易知当（为常数）满足题设条件，所以最大值为. 解法二：. 设，则当时，. 设 ，则. . 容易知道当时，. 从而当时， ， 即 ， 从而 ,，由 知. 又易知当（为常数）满足题设条件，所以最大值为. 10. 解法一：设线段的中点为，则 ， . 线段的垂直平分线的方程是 . （1） 易知是（1）的一个解，所以线段的垂直平分线与轴的交点为定点，且点坐标为. 由（1）知直线的方程为，即 . （2） （2）代入得，即 . （3） 依题意，是方程（3）的两个实根，且，所以 , . . 定点到线段的距离 . .