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积分不等式的证明方法及其应用 【摘要】本文根据定积分的定义、性质、定理等方面简单介绍了几个证明积分不等式的基本方法，并给出了相应的例题，从而更好地掌握其积分不等式的证明方法。尔后再给出四个重要积分不等式及其证明方法和应用，最后详细举例说明积分不等式在求极限、估计积分、证明积分不等式等上的应用及两个重要积分不等式的应用。 【关键词】积分不等式 Schwarz不等式 Hlder不等式 Gronwall不等式 Young不等式 1 引言 在学习中，我们常会遇到这样的问题：有些函数可积，但原函数不能用初等函数的有限形式来表达，或者说这种积分“积不出”，无法应用Newton-Leibniz公式求出（如），这时我们只能用其它方法对积分值进行估计，或近似计算；另一种情况是，被积函数是没有明确给出，只知道它的结构或某些性质（例如设函数在上连续可微，且，求），因此我们希望对积分值给出某种估计.为此我们来研究下积分不等式. 我们把含有定积分的不等式称为积分不等式. ，都是积分不等式. 2积分不等式的证明方法 2.1 定义法 我们根据定积分的定义，把积分区间等分，得出积分和，再由离散型式子，得出积分和之间的大小关系，再令，取极限即可. 例1设函数在区间 上可积 .试证明有不等式. 证 先用Jensen不等式法证明不等式 : 对 , 有不等式 . 设为区间的等分.由上述不等式,有. 令, 注意到函数和在区间 [ 0 , 1 ]上的可积性以及函数 和的连续性，就有积分不等式 . 例2 设在区间上连续，，，且，在上有定义，并有二阶导数，试证明：. 证 （利用积分和）将等分，记，，， 因为，所以为凸函数，所以 则有 令取极限，便得欲证明的积分不等式. 2.2 利用定积分的基本性质 例3 设在上二次连续可微，，试证：，其中. 证 将在处用泰勒公式展开，注意到，则 ，的右端第一项在上的积分为0，故 ，其中. 例4设函数在连续且递增，证明：对任意，有. 证1 ,移项即得. 证2 或 但在闭区间上连续且递增，故，即 成立，原题获证. 2.3 利用重积分证明积分不等式 把积分不等式中的定积分变换成重积分，再利用重积分的性质证明积分不等式. 例5 已知，在上连续，，为任意实数，求证： （*） 证 （*）式左端 原式获证. 2.4 利用缩放积分区间来证明积分不等式的方法 例6 设函数在上有连续二阶导数，，（），试证：. 证 因（），故在内恒正或恒负（否则由介值性知必有零点在内，与矛盾），不妨设（的情况类似可证），,因在上连续，故存在，使得，于是对任意有 下面我们来恰当地选取，得到所需的估计.注意到，应用Lagrange公式得， ； . 令，则 因为，所以，获证. 2.5 构造变限积分的方法 对于一个积分不等式，可把常数变为变量构造辅助函数，再利用函数的性质来证明积分不等式. 例7 设在上可微，且当时，，，试证明：. 证1 问题在于证明 故令，因，故只要证明在内有.事实上， 令，故只要证明在内有，因，故只要证明在内有.事实上， ， 已知，（），故时，，所以，故. 证2 已知，（），故时， 所以问题在于证明（*） 令， 则（*）式左端（利用Cauchy中值定理）有 2.6 其它方法 证明积分不等式的方法很多，像判别式法，面积法，概率论法等，在此我就不一一介绍了. 3 几个重要积分不等式及其应用 本节我们将会介绍几个著名的不等式.这些不等式不仅本身是重要的，而且证明这些不等式的方法，也十分典型.因此本节将系统地介绍这些不等式，并着重讨论它们的证明与应用. 3.1 Schwarz不等式及其应用 3.1.1 Cauchy不等式 对任意个数恒有，其中等号当且仅当成比例时成立. 我们将这种离散的和的不等式推广到积分不等式，就得到Schwarz不等式. 3.1.2 定理1(Schwarz不等式) ,在区间上可积，其中等号当且仅当存在常数，使得时成立（不同时为）. 证1 将等分，令，应用Cauchy不等式得 ，则有 ，令得 . 证2 利用定积分的性质易知，即 (1)当时，因为在区间上可积，所以在区间上也可积且非负，故有于，所以于，继而有于，所以有，命题得证，其中. (2)当时，上面方程是关于的二次多项式不等式，因此，判别式：，即： ,命题得证. 证3 利用二重积分来证明Schwarz不等式. 即有，由此看出若在区间上连续，其中等号当且仅当存在常数，使得时成立（不同时为）. 3.1.2 Schwarz不等式的应用 应用Schw