立体几何基础题题库151-200(有详细答案).docVIP

立体几何基础题题库151-200（有详细答案） 151. ．已知E、F分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是 （ ） A． B． C． D． 解析：C 如图，为所求的二面角的平面角。可利用求求出DG的长度，则所求函数值可求。 152. 与正方形各面成相等的角且过正方体三个顶点的截面的个数是________． 解析：如图中，截面ACD1和截面ACB1均符合题意要求，这样的截面共有8个； 153. 已知矩形ABCD的边AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD，PA=1，问 BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD，并说明理由. 解析：连接AQ，因PA⊥平面ABCD，所以PQ⊥QDAQ⊥QD，即以AD为直经的圆与BC有交点． 当AD=BC=aAB=1,即a1时，在BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD；．．．．．．．．．5分 当0a1时，在BC边上不存在点Q，使得PQ⊥QD．．． 154. 如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长的3，侧棱AA1=D是CB延长线上一点，且BD=BC. （Ⅰ）求证：直线BC1//平面AB1D； （Ⅱ）求二面角B1—AD—B的大小； （Ⅲ）求三棱锥C1—ABB1的体积. （Ⅰ）证明：CD//C1B1，又BD=BC=B1C1， ∴ 四边形BDB1C1是平行四边形， ∴BC1//DB1. 又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D，∴直线BC1//平面AB1D.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （Ⅱ）解：过B作BE⊥AD于E，连结EB1， ∵B1B⊥平面ABD，∴B1E⊥AD ， ∴∠B1EB是二面角B1—AD—B的平面角， ∵BD=BC=AB， ∴E是AD的中点， 在Rt△B1BE中，∴∠B1EB=60°。即二面角B1—AD—B的大小为60°…………10分 （Ⅲ）解法一：过A作AF⊥BC于F，∵B1B⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面BB1C1C， ∴AF⊥平面BB1C1C，且AF= 即三棱锥C1—ABB1的体积为…………15分 解法二：在三棱柱ABC—A1B1C1中， 即为三棱锥C1—ABB1的体积． 155. 已知空间四边形ABCD的边长都是1，又BD=，当三棱锥A—BCD的体积最大时，求二面角B—AC—D的余弦值． 解析：如图，取AC中点E，BD中点F，由题设条件知道 （1）BED即二面角B—AC—D的平面角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 （2）当AF面BCD时，VA—BCD达到最大．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 这时ED2=AD2-AE2=1-AE2=1-=1- =1-， 又 BE2=ED2， ∴ cos．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 　　　　　　 A 　　　　　　　　　　　　　　E B 　　　　　　　　 F 　　　　　　　D 　　　　　　　　　　　　　　　C 156. 有一矩形纸片ABCD，AB=5，BC=2，E，F分别是AB，CD上的点，且BE=CF=1，把纸片沿EF折成直二面角． （1）求BD的距离； （2）求证AC，BD交于一点且被这点平分． 解析：将平面BF折起后所补形成长方体AEFD-A1BCD1，则BD恰好是长方体的一条对角线． （1）解：因为AE，EF，EB两两垂直， 所以BD恰好是以AE，EF，EB为长、宽、高的长方体的对角线， ．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）证明：因为AD EF，EF BC，所以AD BC． 所以ACBD在同一平面内， 且四边形ABCD为平行四边形． 所以AC、BD交于一点且被这点平分 157.已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD， ∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且 （Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC； （Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？ 证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD， ∴AB⊥CD， ∵CD⊥BC且AB∩BC=B， ∴CD⊥平面ABC.………………………………3分 又 ∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF, ∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC （Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD， ∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.………………8分 ∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°， ∴ 由AB2=AE·AC 得 故当时，平面BEF⊥平面ACD.…………