第二十届日本奥赛决赛试题详解(高小组).pdfVIP

学而思南京分校—梁天祥老师 第20届日本算术奥林匹克决赛试题 （考试时间：2011年6月19 日 12:00—14:00 ） 【问题1】（11 分） 如图所示，有5 个相同大小的正方形，各个正方形正中间○中的数，是该正方形顶点上的4 个○中的 数的平均数。 现在，已在8 个圈中填写了数，请在剩余的圈中填写适当的数。 解析：假设中间的数为4x，那么根据题意，它周围的四个数分别为9＋x、4＋x、3＋x、8＋x.且这四个数 的平均数恰为4x，于是有：24＋4x＝16x，解得x＝2.所以正确的填法如图所示： 11 10 8 6 5 【问题2 】（14 分） 用3个小正方形做成1×3的长方 形(以下简称1×3板)。例如从5×5的 方格中去掉右上角的1个方格可以得 到一个24格的图形。在每一个方格中 各写入一个1至3的数字，要求不管横 竖怎么选3个依次相邻的方格，它们 中都是各写入1、2、3。那么一个可 以被1 ×3板恰好完全覆盖的图形必 定1、2、3的个数相等。虽然在图1中, 1、2、3的个数相等，都是8个，但它仍不是可以被1 ×3板恰好完全 覆盖的图形。原因如图2所示：1是9个、2是7个、3是8个时，不是能被1 ×3板恰好完全覆盖的图形。但是， 如图3所示，从5×5的中央去掉1个方格就是一个可以被1 ×3板恰好完全覆盖的图形。 （1）在竖8 格 × 横 11 格的长方形方格图中，有多少种方法可以去掉1 个方格得到能够被1×3 板恰好 完全覆盖的图形？ （2 ） 在竖 100 格 × 横 2011 格的长方形方格图中，有多少种方法可以去掉 1 个方格得到能够被 1×3 板恰好完全覆盖的图形？ 在 （1）和 （2 ）中，旋转或翻转后与原来重合时，也分别算作不同的方法。 解析：（1）因为可以被1×3 板恰好完全覆盖的图形1、2、3 的个数相等，所以去掉的方格肯定是多出来的 那个数.按左图的写法，多出来的是2，按右图多出来的是1，把左图的2 和右图的1 标出来，发 现只有正中的那一格 1 和2 重合.总结上面经验可知，要能被覆盖，去掉的那一格既要是第一种 写法多出来的那个数字，也要是第二种写法多出来的那个数字。 8 ×11 的方格按第一种写法多出来的是2，第二种写法多出来的是1.而每种写法按3 ×3 的方格是 一个循环，1 和2 在每 3 ×3 方格的右下角重合，8÷3 ＝2…2，11÷3 ＝3…2，所以一共有2 ×3 ＝6 种. 1 学而思南京分校—梁天祥老师 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 2 3 1 2 3 3 1 2 3 1 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 2 3 1 2 3 3 1 2 3 1 （2 ）同第一问，但是100×2011 的方格按第一种写法多出来的是1，按第二种多出来的也是1.两个 1 在每个3 ×3 方格的左上角重合，100÷3 ＝33…1，2011 ÷3 ＝670…1，一共有（33 ＋1）×（670 ＋1）＝22814 种. 【问题3 】