第十六章 运动方程的变分形式.ppt

§16.5 约束和Lagrange乘子 由于变分是任意的，所以（16-37）中每一个方括号内的项必须等于零，即： 式（16-38）是Lagrange方程的修正形式。这种与时间有关的函数 叫做Lagrange乘子。 (16-38) §16.5 约束和Lagrange乘子 当约化位能项 定义为 它包含未知函数g1,g2,…,gc , 由于存在着c+m个未知时间函数，求解时需要c+m个方程。这些方程包括c个修正的Lagrange方程（ 16-40 ）和m个约束方程（ 16-35） 。 式（16-38）可写成： (16-39) (16-40) 高等结构动力学 第十六章 高等结构动力学 运动方程的变分形式 §16.1 广义坐标 §16.2 Hamilton原理 §16.3 Lagrange运动方程 §16.4 线性体系普遍运动方程的推导 §16.5 约束和Lagrange乘子 第十六章 运动方程的变分形式 §16.1 广义坐标 阐述多自由度的变分方法时广泛地应用了广义坐标。N个自由度体系的广义坐标用任意一组N个独立的量来定义，这些量是完全独立的，所以广义坐标之间不得以任何方式通过体系上的几何约束相关联。 §16.1 广义坐标 §16.1 广义坐标 图16-1所示的古典双摆可以用坐标x1,y1,x2,y2给定两个质量m1和m2的位置。但这些坐标必须满足两个几何约束条件，即 (16-1) §16.1 广义坐标 由于这些约束条件， x1,y1,x2,和y2不是独立的，所以不能作为广义坐标。 另一方面，假定取 和 为坐标来确定m1和m2的位置，他们可以看成是完全独立的，而且是一组合适的广义坐标。 §16.2 Hamilton原理 为建立动力学的变分表述，考虑图16-2所示质点m,它在外力向量F（t)作用下沿真实路径运动，在t1时刻离开点1，在t2时刻到达点2。 §16.2 Hamilton原理 §16.2 Hamilton原理 §16.2 Hamilton原理 在时刻t，如果质点经受合成虚位移 ，那么包括惯性力在内的所有力的虚功一定等于零，可表示为 (16-2) 重新整理各项并对此方程从t1到t2积分，则给出 (16-3) §16.2 Hamilton原理 对第一个积分式（ ）进行分步积分，并认识到在这个变分路径是首、尾虚位移一定为零，则得到 (16-4) 其中T（t）是质点的动能，即 (16-5) §16.2 Hamilton原理 此时，将力向量F（t）分成保守的和非保守的分量有助于这里的讨论，如下所示： (16-6) 根据定义，必须满足分量关系 (16-7) §16.2 Hamilton原理 式中 等于向量 中各非保守力所作的虚功。利用式（16-4）和式（16-8），则方程（16-3）可以表示为如下形式 (16-9) 利用式（16-6）和式（16-7），则式（16-3）中的第二积分式（ ）为 (16-8) §16.2 Hamilton原理 值得注意的是Hamilton方程还能应用于静力学问题，简化为 (16-10) 方程（16-9）就是众所周知的Hamilton变分表述。用这个原理可直接导出对于任一给定体系的运动方程。 即著名的广泛应用于静力分析的最小势能原理 §16.3 Lagrange运动方程 只要用一组广义坐标q1,q2, … qN表示总动能T、总位能V 和总的虚功 ，就可以从动力学的变分形式，即Hamilton原理直接推导出N自由度体系的运动方程： §16.3 Lagrange运动方程 §16.3 Lagrange运动方程 上述三点T、V、 用数学形式可表示如下： 这里系数Q1，Q2，…，QN分别是对应于坐标q1，q2， …，qN 的广义力函数。 (16-11a) (16-11b) (16-11c) §16.3 Lagrange运动方程 把式（16-11）代入（16-9）中，并完成第一项的变分，给出 （16-12） §1