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第3讲 二次函数综合问题 一、方程的解与对应不等式问题 1、若方程的两个根为1和3，则方程的两个根为 ， 方程的两个根为 ，方程的两个根为 . 2．不等式的解集是，则=_ __， . 3．若关于的不等式的解集为，其中，则关于的不等式的解集为______ __. 二、二次函数与集合的综合问题 4．已知集合,,,且,求的取值范围. 5．已知集合A＝｛｝，B＝｛｝，且BA，求实数的取值范围. 三、二次函数的最值问题 6．当时，求函数的最大值和最小值． 7．当时，求函数的最小值(其中为常数)． 8．求函数在上的最大最小值. 9．设函数f（x）=ax2+8x+3（a0 ).对于给定的负数a，有一最大的正数，使得在整个区间[0，]上不等式|f（x）|≤5 都成立.问：a为何值时最大？求出这个最大的. 解：. 问题转化为二次函数在区间[0，]上的最大值与最小值问题. （1）若即：.此时， 因此： 是方程的两根的较小者. （2）若即：.此时，. 因此：. 是方程两根的较大者. 四、与函数定义域值域有关的参数问题 10．已知二次函数的定义域为[0，3]，而值域为[1，5]，求a、b的值. 解： （1）当 （2）当①当 ②当 ③当 综上， 11．已知二次函数.若的定义域为时，值域也是，符合上述条件的函数是否存在？若存在，求出的解析式；若不存在，请说明理由. 解： 假设符合条件的存在. 函数图像的对称轴是，又， 当时，即，函数有最小值，则 当时，即时，则 当，即时，函数在上单调递增，则 综上所述，符合条件的函数有两个： 《训练题》 一、选择题 1．二次函数在区间[0，3]上有最小值－2，则实数a的值为（ ） A．－2 B．4 C． D．2 2．设函数R）的最小值为m（a），当m（a）有最大值时a的值为（ ） A． B． C． D． 3．函数在区间上递减，则实数a的取值范围是（ ） A．[－3，0] B． C． D．[－2，0] 4．设二次函数的值为（ ） A．正数 B．负数 C．正、负不定，与m有关 D．正、负不定，与a有关 5．已知（k为实数）的两实数根，则 的最小值为（ ） A．19 B．18 C． D．不存在 6．设函数，对任意实数t都有成立，则函数值中，最小的一个不可能是（ ） A．f(－1) B．f(1) C．f(2) D．f(5) 二、填空题 7．设二次函数f(x)，对x∈R有=25，其图象与x轴交于两点，且这两点的横坐标的立方和为19，则f(x)的解析式为 8．已知二次函数在区间[－3，2]上的最大值为4，则a的值为 9．一元二次方程的一根比1大，另一根比－1小，则实数a的取值范围是 10．某商品进货单价为每个8元，按10元一个销售时，每天可售出50个.如果该商品每个提高销售价1元，其每天销售量就要减少5个，为获得最大利润，则该商品最佳售价应为每个 元. 三、解答题 11．已知二次函数R）满足且对任意实数x都有的解析式. 12．a0，当时，函数有最小值－1，最大值1.求使函数取得最大值和最小值时相应的x的值. 13．已知在区间[0，1]内有最大值－5，求a的值. 14．函数是定义在R上的奇函数，当， （Ⅰ）求x0时，的解析式； （Ⅱ）问是否存在这样的正数a，b，当的值域为？若存在，求出所有的a，b. 15．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用左图的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用右图的抛物线段表示. （Ⅰ）写出左图表示的市场售价与时间的 函数关系P=f(t)；写出右图表示的种植成 本与时间的函数关系式Q=g(t)； （Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益， 问何时上市的西红柿收益最大. （注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg， 时间单位：天） 《答案与解析》 一、选择题 1.D 2.C 3.A 4.B 5.B 6.B 二、填空题 7．； 8．－3或； 9．－2a0； 10．14 三、解答题 11．由 ∵对R， 而， ∴ 12．∵a0，∴f(x)对称轴 ①当 ②当 ∴. 综上，当 13．∵f(x)的对称轴为①当 ②当 ③当不合； 综上， 14．（Ⅰ）当 （Ⅱ）∵当 若存在这样的正数a，b ∴f(x)在[a，b]内单调递减，∴ 是方程的两正根， 15．（Ⅰ）将（50，150）代入得 （Ⅱ）设时刻t的纯收益为 ①当 ∴当t=50时 ②当200