随机信号分析课件-3.ppt

第3章 平稳随机过程的谱分析 引言 在许多领域的理论与实际应用中，广泛应用到傅立叶变换这一工具。一方面由于确定性信号的频谱、线性系统的频率响应等具有鲜明的物理意义。另一方面，在时域上计算确定性信号通过线性系统必须采用大量的卷积运算，转换到频域上分析时，可以变换成简单的乘积运算，从而使运算量大为减少，因而傅立叶变换是确定性信号分析的重要工具。 在随机信号分析领域能否应用傅立叶变换，随机信号是否存在某种谱特征？回答是可以，不过在随机信号情况下，必须进行某种处理以后，才能应用傅立叶分析这一工具。因为一般随机信号的样本函数不满足傅立叶变换的绝对可积条件，即 3.1 随机过程的谱分析 3.1.1确定性信号谱分析的简单回顾 x(t)是时间t的非周期函数，x(t)的傅立叶变换存在的充要条件是： 1、x(t)在 范围内满足狄利赫利条件； 2、x(t)绝对可积，即 3若x(t)代表信号，则x(t)信号的总能量有限，即 3.1.2随机过程的功率谱密度 样本函数x(t)不满足绝对可积的条件，但功率是有限的 因此，可以研究随机过程的功率谱。 样本函数x(t)的截取函数 截取函数的傅立叶变换 截取函数应满足帕塞瓦定理 两边同除以2T可得 取集合平均可得 随机过程的平均功率 两个结论 1、 随机过程的平均功率可以通过对过程的均方值求时间平均得到。 若随机过程广义平稳 2、 若随机过程广义平稳 3.1.3功率谱密度与复频率面 在系统分析中，常用复频率表示更为方便. 【例题】 3.2平稳随机过程功率谱密度的性质 3.2.1功率谱密度的性质 1、功率谱密度为非负的，即 2、功率谱密度是ω的实函数。 3、对于实随机过程来说，功率谱密度是ω的偶函数，即 截取函数 为t的实函数，根据傅立叶变换的性质 于是 4、功率谱密度可积，即 3.2.2 谱分解定理 功率谱表示成两个多项式之比 功率谱可以分解为两项之积 解： -1，-3两个极点的留数为 3.3 功率谱密度与自相关函数之间的关系 功率谱密度的表达式为 其中 功率谱密度可表示为 由 得 对于广义平稳随机过程 则 平稳随机过程的相关函数和功率谱密度皆为偶函数 双边带功率谱密度：功率谱密度分布在整个频率轴上，称为双边带功率谱密度。 单边带功率谱密度：功率谱密度只定义在零和正的频率轴上，成为单边带功率谱密度。 单边带功率谱密度与双边带功率谱密度之间的关系为： 广义平稳随机过程的均方值与其单边带功率谱密度的关系 平稳随机过程自相关函数和功率谱密度对应关系： 几种常见平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度对照表 3.4平稳随机过程的采样定理 X(t)为平稳随机过程，具有零均值，它的功率谱密度为 当满足条件 时，变可将它的振幅样本展开为 X(n)功率谱密度与X(t)的功率谱密度之间的关系为 3.5联合平稳随机过程的互谱密度 3.5.1互谱密度 定义两个截取函数 为 二者满足绝对可积的条件，则 定义两随机过程的互功率为 应用帕塞瓦定理 下面求平均功率 ，得平均功率 互功率谱密度定义为 3.5.2互谱密度与互相关函数的关系 1、对于实随机过程X(t)、Y(t)有 3.5.3互谱密度的性质 1、 2、 3、 4、若X(t),Y(t)正交，则 3.6白噪声 随机过程通常可按它的概率密度和功率谱密度的函数形式来分类。就概率密度而言，正态分布的随机过程占有重要地位；就功率谱密度来说，具有均匀功率谱密度的白噪声非常重要。 3.6.1理想白噪声 若N(t)为一个具有零均值的平稳随机过程，其功率谱密度均匀的分布在整个频率区间，即 其中N0为一个正实常数，则称N(t)为白噪声过程或简称白噪声。“白”字借用光学中的“白光”术语，因为白光中包含所有可见光的频率分量。 白噪声的自相关系数为 以上说明，白噪声在任何两个相邻时刻的取值都是不相关的。这就意味着白噪声过