02 半群与群.ppt

近世代数及其应用 罗守山 教授 博士生导师 北京邮电大学计算机学院 第2章 半群与群 本章研究最基本的代数系统：群 (集合中只有一种二元运算)。 群论是代数学中最古老最丰富的分支之一，是 近世代数的基础。 变换群在几何学中起着重要的作用，有限群是伽罗华理论的基础。 群在编码理论、信息安全等方面有应用。 第1节：半群与含幺半群 第2节：群的定义及性质 群的例 群的定理1（等价定义） 群的定理2 （等价定义） 归纳群的等价定义 有限群（群的阶） 有限群证（等价定义） 克莱因群 群元素的阶 群元素阶的定理 群元素阶的定理 定理 注： 第3节 子群，群同态 利用群的某些子集来研究整个群的性质是群论研究的方法之一. 本节我们将考虑这样一些有特殊性质的子集合. 定义1 子群的性质： 判定子群的充要条件 判定子群的充要条件 判定子群的充要条件(有限子集) 群的同态 同态应用到群 第4节 循环群 循环群是已经研究清楚的群之一，就是说，这种群的元素表达方式和运算规则，以及在同构意义下这种群的数量和它们子群的状况等，都完全研究清楚了. 存在性 构造 数量 定理 如何研究代数系统 I.分类: 同构的分成同一类,存在及数量。 II. 每一类的内部结构。 III.表示: 对于循环群的存在问题，数量问题，构造问题都已能解答，循环群已完全在我们的掌握之中． 这一节的研讨是近世代数研讨方法的一个缩影。在近世代数里，不管是在群论里还是在其它部分中，我们研究一种代数系统就是要解决这一种系统的存在问题，数量问题和构造问题．假如我们对于这三个问题能得到如同我们对于循环群所得到的这样完美的解答，我们的目的就算达到了． 第5节 变换群与置换群 研究一种代数体系就是要解决这种代数体系的下面三个问题：存在问题；数量问题以及结构问题。 关于数量问题，指的是彼此不同构的代数体系的数量，因为同构的代数体系抽象地看可以认为是相同的代数体系。 集合的变换和变换乘法 变换群的概念 定理1 定义 推论 置换群 定义：称有限集合的一一变换为置换. 例 注意：置换乘法没有交换律 置换群的概念 循环置换及循环置换分解 注：并不是每个置换都是循环置换. 定理. 每个置换都可表成不相连循环置换之积. 例：四次对称群 循环置换的性质 定理　每一个有限群都与一个置换群同构． 这就是说，每一个有限群都可以在置换群里找到例子．现在置换群又是一种比较容易计算的群，所以用置换群来举有限群的例是最合理的事． 谢 谢 ， ，若 ，若 ，取H的最小正幂 ，若 ，则设 ， ，于是 ，故 ， ，因此 . 证： 循环群 ，则 定理 无限循环群 有无限多个子群. 是 不同的子群（若 ，则 ，于是 .） 证： 证： 的全部 本讲的凯莱定理将告诉我们，如果将所有变换群都研究清楚了，也就等于把所有群都研究清楚了，无论是否如此简单，但至少从理论上知道凯莱定理的重要性。 1 变换：设 是一个非空集合，若 是 就称 是 的一个变换. 到 上的映射 2 变换集合：由 的全体变换做成的集合 ，由 的全体一一变换做成 . 记为 的集合记为 4 变换乘法是 的代数运算，也是 的代数运算. 5 恒等变换 ： ， 3 变换乘法： ，规定 ，称 为 的乘法. 例1 设 ． 的全部变换如下 问：（1） 关于变换乘法是否做成群？ 关于变换乘法是否做成群？ （2） 解：（1）非空、代数运算、结合律都满足， 事实上， 就没有逆元.因为如果 有逆元 .那么必有 且 .但是 而 导致矛盾，故 没有逆元. 不能成为群. 有单位元 . 那么“逆元”问题能解决吗？ 因此 （2）非空、代数运算、结合律都满足， ， 的逆元是 的逆元是自身. 因此 例2 设 ，并取定 ，则易知 是 的一个非一一变换， ，从而 关于变换乘法做成群. 有单位元 成为群. . 设 为非空集合， 构成 的一个变换群. 关于变换的乘法 证明：乘法封闭性、结合律都满足，单位元 为恒等变换，每个一一映射都有个与之对应的 互逆的一一映射. 称集合 上的一一变换群 表示 用 为n 次对称群. 当 n次对称群 是一个阶为 的有限群. 时， 任何 n 阶有限群都同 n 次对称群 的一个子群同构. 以上定理及推论表明: 任何抽象群都可以找到某个具体的变换群与它同构. 置换 可表示为 其中 是 的全排列. 设 ,求A的全体置换. 三次对称群为： 是有限非交换群. 定义 次对称群 的任意一个子群， 次置换群，简称置换群. （由部分置换关于变换乘法做成的群） 都叫做一个 定理 任何n阶有限群都同一个n次置换群同构. 因为任何n阶有限群都与一个具体的n次 置换群同构，所以常用n次置换群来举有限群 的