1.7.1定积分在几何中的应用教学设计.docVIP

教学课题 选修2-2第一章1.7.1定积分在几何中的应用 课标要求 一、知识与技能： 1．进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形面积的思想方法； 2．初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法 3．让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 二、过程与方法： 1. 通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法 2. 探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法。 三、情感态度与价值观：探究式的学习方法能够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神；探究过程中对学生进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学生自主探究。 识记 理解 应用 综合 知识点1 用定积分求曲边梯形的面积 ∨ 知识点2 用定积分求不太规则的平面图形的面积 ∨ 知识点3 用定积分解决实际问题 ∨ 目标设计 1.通过定积分求曲边梯形的面积，体会定积分的基本思想，学会其方法 2.掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法 3.通过数形结合的思想，加深对知识的理解，体会数学研究的基本思路和方法 4.使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值。 情境一：展示精美的赵州桥图片，讲述古代数学家的故事及伟大发现：拱形的面积 问题1：桥拱与水面之间的切面的面积如何求解呢？ 问题2：需要用到哪些知识？（定积分） 问题3：求曲边梯形的思想方法是什么？ 问题4：定积分的几何意义是什么？ 问题5：微积分基本定理是什么？ 情境二：利用定积分求平面图形的面积 计算由两条抛物线和所围成的图形的面积. 问题1：你能在平面直角坐标系内画出两条抛物线吗？ 问题2：能在图中找出所要求的图形吗？（用阴影部分表示出来） （如右图） 问题3：这个图形以前见过吗？有没有直接的公式求它的面积吗？ 问题4：既然没有直接的公式求其面积，那能不能转化成我们学过的曲边梯形的面积来间接求解呢？（可看做两个曲边梯形的面积之差，进而可以用定积分来解决） 解：解方程组得到交点横坐标为或 情境三 学生探究：例2．计算由直线，曲线以及x轴所围图形的面积S. 分析：模仿例1，先画出草图（左图），并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题． 问题1：阴影部分图形是曲边梯形吗？ 问题2：不是曲边梯形怎么办？能否构造出曲边梯形来呢？ 问题3：如果转化成两部分的面积和，应该怎样作辅助线？（过点（4,0）作x轴的垂线将阴影部分分为两部分） 问题4：两部分面积用定积分分别应该怎样表示？（注意积分上下限的确定） 问题5：做辅助线时应该注意什么？（尽量将曲边图形转化成我们熟悉的平面图形，如三角形、矩形、梯形和曲边梯形组合成的图形.） 规范的解题过程此处略去 思考：1.本题还有没有其它的解决方案？（可以将此阴影部分看做一个曲边梯形和一个三角形的面积之差） 2.上面的解法是将看作积分变量，能不能将看作积分变量？尝试解决之。 情境四：结合以上两个例题，总结利用定积分求平面图形面积的基本步骤。 解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤： 1．画草图，求出曲线的交点坐标． 2．将曲边形面积转化为曲边梯形面积． 3．根据图形特点选择适当的积分变量 4．确定被积函数和积分区间．5．计算定积分，求出面积. 【课堂练习】： 1.计算由与所围图形的面积. 2.计算由曲线与及所围平面图形的面积． 3.回到本节开始时赵州桥的问题，如图，一桥拱的形状为抛物线，已知该抛物线拱的高为常数h，宽为常数b．求桥拱的面积。 （思路：先将问题数学化，在用求定积分的方法解决。） 习题设计： 1. .已知曲线在轴的下方，则由和所围成的曲边梯形的面积可表示为( ) （知识点1，易） A．　　B．　　C．　　　D． 2若与是上的两条光滑曲线，则由这两条曲线及直线所围图形的面积( )．A． B． ． D． 3. 已知函数，若，则的取值范围是（ ）（知识点3，中） A．　　B．　　C．　　D． 4. 已知函数在x=1处有极值-2 （知识点3，中） （1）求常数a、b； （2）求曲线y=f(x)与x轴所包围的面积。 5. 如图所示，直线分抛物线与轴所围成图形为面积相等的两部分，求的值。 （知识点3，难） 联合体教学设计 河北任丘一中数学组：张海昌 1 认知层次 知识点 -1 -1 1