11北京版小四奥数教材课程十一最短线路问题.docVIP

课程十一 最短线路问题 1.一笔画图与最短线路图是类似的问题 2.对称原理的应用 公理是从实践中总结出来的任何人都承认的原始道理 解决最短线路问题时常用的方法是： 1.连接两点的所有线中，直线段最短。 2.三角形的两边之和大于第三边。 3.直线外一点到直线的所有线中垂线段最短。 例1 假如直线AB是一条公路，在路两侧有甲、乙两个村子（如图1），现在要在公路上修一个公共汽车站，让这两个村的人到车站的路线之和最短。问车站应修建在什么地方？ 分析与解法 如果只考虑甲村人距公路最近，由教材上的结论，只要由甲村向AB画一条垂线，交AB于C，那么C离甲村最近，但离乙村又远了。同样只考虑乙村近的线路乙-D-甲也不是最近的。怎样才能使甲、乙两村整体考虑时最近（即距离之和最短）呢？根据我们的经验:两个地点之间走直线最近。所以，在甲、乙之间连一条直线与AB相交于P点，则在P点建站就合要求了。 图1 说明：以上我们是凭经验作出的解答。但是数学家解决问题，总是要用一些公认的结论去对问题进行严格的证明才算正确，并把公认的结论称作公理。 下面我们把解决最短线路问题时常用的公理列在下面。 公理1 连接两点的所有线中，直线段最短。 公理2 三角形的两边之和大于第三边。 公理3 直线外一点到直线的所有线中垂线段最短。 图2 公理是从实践中总结出来的任何人都承认的原始道理。当然，有同学会想：“你那个公理我不承认行不行呢?”那可不行，比如图（1）中，有一只鸡在B点觅食，你在A点处放一些米，那么鸡一定会沿直线AB跑过来吃食，决没有一只蠢鸡沿B→C→A或沿B→D→A的线路跑过来。这表明：公理不但人类公认，连动物界也都遵循它。 下面我们就用上述公理来解决一些最短线路问题。 例2 如图，点A、B位于直线l的同侧，在L上找一点P，使得AP+PB最短。 图3 分析与解法 这就是“将军饮马”问题，我们看看海伦是怎么解决的。海伦发现这是一个求折线和最短的问题。从上面的公理1只知道两点间直线段最短。那么，显然要把折线变成直线再解。如果直接连AB，与l不会相交。怎么办呢？由例子1得到启发： 当A、B位于l的异侧时，就有交点了。于是我就希望在l的另一侧找一点A′，使得连A′B与l相较于P点后（这时A′P+PB最短）线段A′P与AP一样长。由对称的知识可知道，A关于L的对称点就有资格扮演A′的角色。 如图3，先作A关于L的对称点A′，连接A′B与l相交于P点，则AP+PB就最小。那么这样作出的AP+PB是否真的最小呢？要证明它只需要在l上任取一点P′，证明AP′+ P′AAP+PB就行了。这点好证明:事实上因为A′，A关于l对称，有AP=A′P、AP′=A′P′，又由公理2A P′+ P′B= A′P′+ P′B A′B= A′P+PB=AP+PB。 原来海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线问题求解的。后来这一方法已形成了思想，它在解决许多问题中都在起作用。现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理。 例3 在例子2中能否作B点关于l的对称点去解？ 分析与解法 能作B点的对称点去解。 例4 如下图4所示的是一个军港地图，海岸线AC和BC上停满了军舰。亨特将军要从军营X到指挥所Y去，但到Y点之前他要依次去AC和BC两岸视察军舰。说同学们给亨特将军设计一条路线，使他尽快地在完成视察后到达Y点。 分析与解法 显然，要尽快到达只要路径最短即可。我们的目的是要在AC和BC上各确定一点M、N，使得路线X→M→N→Y最短。假若先能用什么办法确定M、N中的一点，则确定另一点的方法与例2相同。故关键是确定M、N中的一点。不妨先确定M点。试想若Y点不在陆地上而在濒临BC岸的海中，则确定M的方法也与例2相同。这是因为当Y在海中时，最短路X→M→Y已经通过了BC岸。但现在Y 在陆地不在海中，我们自然想到用对称原理作Y 关于BC的对称点Y′（Y′在海中）。因为这时X到Y′的最短路X→M→Y′与BC相交于N点。而X→M→N→Y又与X→M→Y′路程相同，故它是满足条件的最短路线。 先作Y关于BC的对称点Y′，再作Y′关于AC的对称点Y′′。连接X与Y′′与AC交于M点，再连接M与Y′与BC相交于N点，则X→M→N→Y即为将军行动的最短路径。 说明：本题实际上是把对称原理连续使用了两次：先作Y′关于AC的对称点Y′′确定M点，后又作Y关于BC的对称点确定N。这样就确保了X→M→Y′即（X→M→N→Y）最短。 例5 有一地区有A、B、C、D四个村庄。现要建一所学校P,使P到A、B、C、D的距离之和最小，问P应建在什么地方？ 图5 分析与解法 可把村庄看成点。 （1）当有一个点在其他三个点组成的三角形内部时，请读者自己思考。 （2）当四个村庄如图