D10_1二重积分概念及计算1.pptVIP

第九章 第一节 一、引例 2. 平面薄片的质量 二、二重积分的定义及可积性 例1. 计算 例2. 计算 注: 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 , 作业 * 重 积 分 三、二重积分的性质 一、引例 二、二重积分的定义与可积性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的概念与性质 第十章 1.曲顶柱体的体积 底： xoy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积的思路： “分割, 近似,求和, 取 极限” 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1)“分割” 2)“近似” 3)“求和” 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分D为 n 个区域 对应n 个小柱体 4)“取极限” 设D 的面积为? , 则 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 计算该薄片的质量 M . 度为 其面密 解决方法： “分割, 代替,求和, 取 极限” 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 非常数时 , 2)“近似” 3)“求和” 4)“取极限” 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1)“分割” 分D 为 n 个小区域 共性： (1) 解决问题的步骤相同 (2) 所求量的结构式相同 “分割,近似, 求和,取极限” 曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分析： 积分和 积分域 被积函数 积分表达式 面积元素 定义: 是定义在有界区域 D上的有界函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 将区域 D 任意分成 n 个小区域 在D上的二重积分. 记作 用平行坐标轴的直线来划分区域D 引例1中曲顶柱体体积: 引例2中平面薄板的质量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的面积 二、二重积分的性质 4. 若在D上 特别: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 5. 设 D 的面积为? , 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2、利用二重积分的性质估计下列积分的大小 例1、比较下列积分的大小 6.(二重积分的中值定理) ? 为D 的面积 , 则至少存在一点 在闭区域D上 连续, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 二重积分的定义 2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似.(1)----------(6) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1),(2),(3),(相等关系） （4）(5),（不等关系） 1、区域的分类及表示 2、二重积分在直角坐标中的计算公式 一、利用直角坐标计算二重积分 第二节 二重积分的计算法 D为 X – 型区域 1.区域的分类及表示 D为 Y – 型区域 （1） (2) 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 （1）若D为 X – 型区域 2、二重积分在直角坐标中的计算公式 （2）若D为Y –型区域 注 若积分域较复杂 则可将它分成若干 X-型域 或Y-型域 , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 y＝x 所围的闭区域. 解法1. 将D看作X–型区域, 则 解法2. 将D看作Y–型区域, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 及直线 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 将D视为X型 计算很麻烦 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * * * * *