一道俄罗斯原创不等式新题的推广.docVIP

安康市2009年度教育教学论文评审信息表 论文编号：____________ 作 者 梁 华 单 位 汉阴县汉阳初级中学 论文 学科 理 科 学校 类别 初 中 联系电话邮编 725106 论文标题 一道俄罗斯原创不等式新题的推广 内容 提要 本文对贝·尼·拉贝钦柯命制的关于约束条件下的相关参数限定范围的一道不等式新题进行推广，给出了参变量、连加和、连乘积和指数等形式的加强命题。 县（区）教研室、市直学校 推荐意见 男55岁以上、女50岁以上加附身份证复印件处。 论文申报 者承诺书 本人自愿申报教育科研论文参与安康市2009年度教科研论文评审活动，该论文系作者原创，无抄袭、剽窃和侵犯他人学术成果之行为，保证没有知识产权争议，并对该论文的真实性负责。 申报者（签名）： 年 月 日 评委会 意 见 一道俄罗斯原创不等式新题的推广 陕西省汉阴县汉阳初级中学 梁华 725106 摘要：本文对关于约束条件下相关参数限定范围的一道不等式新题进行推广，给出了这个代数不等式的参变量、连加和、连乘积和指数等形式的加强命题. 关键词：不等式新题；系数推广；指数推广 文【1】介绍了俄罗斯《中学数学》杂志刊登的由贝·尼·拉贝钦柯原创的一个不等式新题： 设a ,b＞0 ,且ab＞2003a +2004b ,则 a+b ＞(+)2. (1) 将其做系数推广，可得： 命题1 设a , b＞0 , ,≥0 ,且ab＞a+b , 则 a+b＞(+)2 . (2) 命题1的证明类似于命题4的证明，此处略. 进一步，可得命题1的连加和形式： 命题2 设xi ，yi ＞0，i ,i≥0 , i=1,2,…,n ,n∈N+ ， 且 xiyi＞ixi+iyi ,则 xi+yi) ＞2 . (3) 证明： 因为xi yi＞ixi+iyi , i=1,2,…,n ,n∈N+ ， 由命题1，可得：xi +yi＞()2 ， 所以 xi+yi) ＞2 . 还可得命题1的连乘积形式： 命题3 设xi ，yi ＞0，i ,i≥0 , i=1,2,…,n ,n∈N+ ， 且 xi yi＞ixi+iyi , 则 xi+yi) ＞()2 . (4) 证明： 因为xi yi＞ixi+iyi , i=1,2,…,n ,n∈N+ ， 由命题1，可得：xi +yi＞()2 ， 所以 (xi+yi) ＞()2 . 再对命题1做指数推广，可得： 命题4 若a , b＞0 , , ≥0 ， ， 为常数，m ,m∈N+ ， 且 am bn ≥am+bn , 则有 am+bn≥(+)2 . (5) 证明：am+bn≥am +bn两边同乘，得 am+bn≥+=+ ++ ≥2+=(+)2 . 当且仅当=b2na-2m时取等号. 由此，可见命题1是命题4当m , n 都取1的特例. 在不等式（5）中对取特殊值，可得到一些简洁、对称、优美的涉及相关参数的不等式.在不等式（2）、（3）中对i、i取特殊值，亦可得到一系列有趣的不等式，这里不再赘述. 一个值得关注的问题是，不等式（5）能否做更深一步推广？不等式(5)的几何意义又是什么？还值得进一步研究 . 参考文献： 【1】李学军，戎松魁译.一组优美的不等式【J】.数学通讯， 2006（21）.