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倒易空间、波矢与衍射条件1. 傅立叶展开与倒易空间我们知道，晶体具有周期性的结构，由此使得其许多性质在某些方向上也具有周期性，例如原子核的位置的周期性排列产生了周期性的离子实势场。因此，如果要研究晶体中的电子的运动，就必须要研究这种周期性的离子实势场。所以，我们首先要处理的就是周期性函数。而傅立叶（Fourier, 1768～1830）在他的1807年的论文《固体中的热传导》中所提出傅立叶级数方法就是处理周期性函数的强大工具。值得一提的是，这个方法在当时曾引起争议，Lagrange、Laplace 一直持保留态度。后来经过Poisson、Cauchy，直至Dirichlet的努力，傅立叶的方法才最终令人信服地被人接受。对于一个三维周期性函数u(r)（周期为T=n1a1+ n2a2+ n3a3），即：u(r) = u(r + T)这里，r是实数自变量，可以用来表示三维实空间的坐标。那么如果将u(r)展开成傅立叶级数，其形式为：u(r) = SG uG exp(iG·r)其中，G是与实空间中的周期性矢量T相关联的一组矢量，它是如下定义的：构成T的三个基矢量a1、a2和a3张成了三维实空间，与此做类比，我们定义与实空间互为“倒易”（reciprocal）的空间，它由三个倒易基矢量b1、b2和b3张成的，即G=k1b1+ k2b2+ k3b3。而倒易基矢量由如下倒易关系给出：b1 = 2π (a2×a3/ a1·a2×a3)b2 = 2π(a3×a1/ a2·a3×a1)b3 = 2π(a1×a2/ a3·a1×a2)之所以如此定义，是因为这样就能使互为倒易的两组基矢量之间满足如下的漂亮关系：ai·bj= 2πδij这是很好理解的，因为在b1、b2和b3的定义式中(a1·a2×a3)就是基矢量a1、a2和a3围成的平行六面体的体积，而(a2×a3)就是这个平行六面体的底面积，因此(a2×a3/ a1·a2×a3)就是这个平行六面体垂直于a2和a3所在平面的高的倒数，可见，b1的方向沿着这条高，其长度为这条高的倒数乘以2π。而这条高的长度正好是a1在这个高上的投影大小(a1cosq)，因为这条高的方向就是b1的方向，所以a1cosθ b1 = 2π。同时，由于b1的方向是高的方向，所以它与a2和a3都相互垂直。实空间中的晶格矢量构成其体积为Va的平行六面体，即原胞。与此类似，倒易空间中的基矢量也构成一个体积为Vb的平行六面体。这两个互相倒易的平行六面体单元的体积关系也是倒易的：Va Vb = (2π)3对于晶格中的一个晶面(hkl)，倒格矢G = hb1+ kb2+ lb3与该晶面垂直，并且两个相邻平行晶面的间距（晶面距）为：d(hkl) = 2π/|G|至于为什么在倒易关系中存在2p 因子，这是因为如此定义的互为倒易的两个矢量G与T之间满足下面简洁的恒等式：exp(i G·T) = 1上式的证明只需将G与T用相应的基矢量展开即可获得。利用这个简洁的恒等式和u(r)傅立叶展开式，可以验证u(r)是周期函数：u(r + T) = SG uG exp = SG uG exp(i G·r) exp(iG·T) = SG uG exp(i G·r) = u(r)u(r)傅立叶展开式中的傅立叶系数可以用下面的积分求得：uG = Va–1 ∫cell u(r) exp(i G·r) dV其中上述积分是对一个晶胞内的积分。总之，由傅立叶变换将晶体的周期性的实空间（正格子）变换成了周期性的倒易空间（倒格子）。下面我们将看到，倒易空间对于描述晶格与粒子（如光子、电子等）之间的作用是很便利的。例如，X射线衍射图样实际上是晶体倒格子而不是正格子的直接映像。2.??倒易空间与波矢电子、光子等微观粒子具有波粒二象性，德布罗意（De Broglie,1892～1989）为此提出了著名的德布罗意公式：p = h/λ根据这个公式，动量还可以写成普朗克常数乘以波数的形式：p = hμ在固体物理学中，人们常用到的是角波数，它与波数的关系是：k = 2πμ波数的含义是单位长度内所包含波的周期数；而角波数的含义就可以理解为单位长度内所包含波的相角数。这对于研究波的干涉和衍射非常有用，比如在距离上相差r的空间两点，它们之间的相角度、差就是k·r，这里的k = k1 + k2 + k3就是角波数矢量，简称波矢。波矢的量纲与前面我们定义的倒格子矢量相同，所以，前面我们引入的倒易空间也称为波矢空间。这样，粒子的德布罗意公式可以写成动量与波矢的形式：p = ?k这个式子左边的动量反映了粒子性，右边的波矢反映了波动性。此式也表明，波矢与动量之间只相差一个常数因子，因此，波矢空间有时也称为动量空间。还有一个