线性方程组(ch2.6).pptVIP

*集美大学理学院 §2.6 Rn的标准正交基 一. 几个相关概念 基 在Rn中，称任意n个线性无关的向量 α1, α2,…, αn为Rn的一组基. 初等单位向量组(单位坐标向量组) 标准基或自然基 2 坐标 设α1,α2,…,αn为Rn的一组基，则对任意的α∈Rn， α可以惟一的表示成 α1,α2,…,αn的线性组合，即存在 a1,a2,…,an∈R，使 α= a1α1+a2α2+…+ anαn 称组合系数a1,a2,…,an为α 在基α1,α2,…,αn下的坐标， 记作(a1,a2,…,an)。 例1 分别求α= (d1,d2,…,dn) T在标准基ε1, ε2,…, εn和 基α1= (1,0,…,0)T，α2= (1,1,…,0)T，…，αn =(1,1,…,1)T 下的坐标。 3 内积 设α=(a1,a2,…,an)T， β=(b 1,b 2,…,bn)T为Rn中的两个向量，则称 为向量α和β的内积。 性质：(1) αT β= βT α;(2) (kα)T β= kαT β; (3)(α+β)Tγ=αTγ+βT γ;(4) αTα≥0,且αTα=0 ? α=0。 4 向量的长度 设α=(a1,a2,…,an)T∈Rn，记 称为向量α的长度或模。 当||α||=1时，称α为单位向量。 性质：(1) || α ||≥0,且||α||=0?α=0;(2) ||kα||= |k|·||α||; (3) |αTβ|≤ ||α||·||β||，且 |αTβ|= ||α||·||β||?α, β 线性相关。 向量的单位化或标准化： 若 α ≠0,则α/||α||为单位向量或标准化向量。 5 正交 设α, β ∈Rn ，若αT β=0，则称α与β正交。 若α1,α2,…,αs (s≥2)为非零向量组且两两正交， 则称α1,α2,…,αs 为一个正交向量组。 若正交向量组中每一个向量都是单位向量， 则称该向量组为正交单位向量组。 证明 与 作内积,得 故 线性无关. 定理2.15：设α1, α2,…, αs是一个正交向量组， 则α1, α2,…, αs线性无关。 定义2.22： 如果Rn中的n个向量 满足以下两个条件： (1) 中任意两个向量都正交； (2) 则称 为Rn的一个标准正交基。 若 是Rn中的正交单位向量组， 则称 为Rn的一个标准正交基。 二. 施密特(Schmidt)正交化 设 (s≥2)是Rn中的一个线性无关向量组，令 则β 1, β 2,…, β s是一个正交向量组，并且满足： 例1 求与向量组 等价的一个正交单位向量组。 解 先正交化， 取 再单位化， 得正交单位向量组如下 解 例2 求与向量组 等价的一个正交单位向量组。 再把它们单位化，取 例3 已知 求一组非零向量 使 两两正交. 解 依题意 应满足方程 即 或 * * * *