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* 第五章 第一节 大数定律 第二节 中心极限定理 第五章 大数定律与中心极限定理 Section1 第一节 大 数 定 律 如果对于任意正数 ? ，有 记作 设 是一个随机变量序列，a 是常数. 则称序列 依概率收敛于 a ， 设 ， ，函数 在点 (a , b) 处连续，则 . Section1_1 独立，服从同一分布，且具有数学期望 则对于任意正数 ? ，有 辛钦大数定律 设随机变量 相互 ， Section1_2 大数定律的实际背景： 在大量随机现象中，随机事件发生频率具有稳定 性， 的稳定性与个别随机现象的特征无关，几乎不再是随 机的. 随机变量的平均结果具有稳定性， 而且平均结果 大数定律就是以数学形式表达了这种规律性. 即 从理论上阐述了这种大量的、在一定条件下重复出现 的随机现象所呈现的稳定规律性. 由于大数定律的作用，大量随机因素的总体作用 必然导致某种不依赖于个别随机因素的结果. Section1_3 定理 设随机变量 X 具有数学期望 E(X) = ? ， 成立. 称为 切比雪夫（Chebyshev）不等式 . 方差 ，则对任意正数 ? ，不等式 例1. 设随机变量 X 的方差为 3 ，则根据契比雪夫 不等式有估计 __________ . 例2. 设随机变量 X 的数学期望为 7 , 方差为 5 , 则根据 契比雪夫不等式有估计 __________ . Section2 第二节 中心极限定理 在实际中，许多自然、社会、经济现象都是由大 量相互独立的随机因素的综合影响的结果，而每一因 素在总的影响中的作用都是微小的，描述这类现象的 随机变量都近似地服从正态分布. 这类现象就是中心 极限定理的客观背景. 在概率论中，把研究在什么条件下，大量独立随 机变量和的分布以正态分布为极限这一类定理称为 中心极限定理. Section2_1 定理（独立同分布的中心极限定理） 的标准化变量： 设随机变量 相互独立，服从同一 分布，且具有数学期望和方差： ， ，则随机变量之和 的分布函数 对于任意 x 满足 Section2_2 充分大时，有 近似服从 标准正态分布 . 均值为 ? ，方差为 的独立同分布的随机 变量 之和 的标准化变量，当 n 令 当 n 充分大时，有 Section2_3 例3. 分析病史资料表明，因患感冒而最终导致死亡的 例子占 0.2% ，试求目前正患感冒的 1000 个病人中， 最终死亡人数不超过 2 人的概率. 解： ，第 i 个人患感冒而最终导致死亡 ，第 i 个人患感冒而最终没有死亡 表示患感冒的 1000 个病人中，最终导致 死亡的人数. Section2_3_1 Section1_1_X 自定义放映 *