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概率论与数理统计 制 作 人： 叶 鹰主讲教师： 叶 鹰 §2.4 随机变量函数的分布 二、D.R.V.的函数 三、C.R.V.的函数 信息短波 习题讲评 习题讲评 习题选讲 习题选讲 习题选讲 * * 查表 一、问题 X与σY+μ同分布 1. 2. 例1(P62例2.19)已知X的分布列，求Y1=2X+1，Y2=X 2的分布。 X -2 -1 0 1 2 P 解 Y1=2X+1 -3 -1 1 3 5 Y2=X 2 4 1 0 1 4 Y2 0 1 4 P 例2 设X~N (0, 1)，求Y=aX+b的分布。 解 即Y~N ( b, a2 ) ， a0 ， a0 x=h(y) 定理 设R.V.X有密度函数fX(x)，函数y=g(x)有反函数x=h(y)，且h(x)存在并保号，则R.V. Y=g(X)有密度函数 其中 证明： 若h(x) 0，即g(x)↗ y 当yg(+?)时， y 当yg(－?)时， ↘ ≥ h(y) +? y x=h(y) x g(x) g(+?)yg(-?) － ｜ ｜ 例3 (P64例2.20)设X~N(μ,σ2)，求Y=aX+b (a≠0)的分布。 解: 即 线性变换不变性 Y=g(X)的密度函数 x y ax+b 《工程数学》多媒体网络课件项目 欢迎学生加盟 条件：1.具有扎实的数学基础知识； 2.有教强的计算机编程能力，能熟练应用Flash制 作网页动画； 3.有工作时间保证（暑假全部投入）。 待遇：提供资料、设备和适量酬金。 报名：将一份简单申请（包括姓名、班级、成绩、能力、工作经验）交给叶鹰老师。 例3 设 X~E(?)，求 Y = X3 的分布。 解: Y=g(X)的密度函数 ?! 例4 设C是以原点为圆心的单位圆周，A为C上的任意一点，求A的横坐标的分布。 X θ o A 解 记θ为OA与x轴的夹角， 由题意θ~U[-π,π]，则X=cosθ ? x -? ? cos-1x 0 练习1.4 设某长途汽车在起点站有20位乘客上车，每位乘客在以后的10个车站等可能地下车。求没有三位及三位以上的乘客在同一车站下车的概率。 解　记A＝{每个车站恰有两位乘客下车}，则 P(A)= 10*10*.............*10 10*10*9*9*....*1*1 (1) (2) (3) 练习2.4 能否把n个任意事件A1,A2,...An之和表示为n个互斥事件之和？请给出这种表示。 解 (1) (2) (3) (4) [练习三]题4 设有一个系统有6个控制器，必须（1）第一个控制器正常，（2）第2、3个控制器至少有一个正常，（3）第4、5、6个控制器至少有2个正常，在这种状态下系统才正常。若各控制器相互独立且正常的概率为2/3，求该系统正常的概率。 解 记Ai为第i个控制器正常，则该系统正常的概率为 [练习三]题5 设共有10张彩票，其中只有2张可获奖，甲、乙、丙三人依次抽取一张彩票，规则如下：每人抽出后，所抽的那张不放回，但补入两张非同类彩票。问甲、乙、丙三人中谁中奖的概率最大？ 解 记A、B、C分别为甲、乙、丙中奖，则 故丙谁中奖的概率最大。 习题2.21 设随机变量X取值于[0,1]，若P(x1X≤x2)只与x2 － x1的长度有关 （对一切0 ≤ x1≤x2 ≤1），证明：X～U[0,1] 解 由题意，对给定的?x（ 0 ≤ xx+ ?x ≤1） P(xX?x+ ?x)=F(x+ ?x)-F(x) 与x无关 F(x)=kx x?[0,1] 由F(1)=P(X ? 1)=1　　得k=1 即　X～U[0,1] 成正比 * * * *