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牙膏的销售量的研究 摘要 本文解决的是牙膏销售量的最佳方案的统计线性回归问题.目的是从收集牙膏销售量数据开始，从牙膏销售量与销售价格、广告投入等之间的关系，从而预测出在不同价格和广告费用下的最佳销售量. 模块Ⅰ中，我们假设在和对y的影响独立，从而得到了方程： 在模块Ⅱ中，我们假设和对y的影响有交互作用，进一步得到新的方程： 【关键字】线性回归模型 相关系数 一、问题重述 某大型牙膏制造企业为了更好地拓展产品市场，有效地管理库存，公司董事会要求销售部门根据市场调查，找出公司生产的牙膏销售量与销售价格、广告投入等之间的关系，从而预测出在不同价格和广告费用下的销售量。为此，销售部的研究人员收集了过去30个销售周期（每个销售周期为4周）公司生产的牙膏的销售量、销售价格、投入的广告费用，以及同期其它厂家生产的同类牙膏的市场平均销售价格，见表1-1（其中价格差指其它厂家平均价格与公司销售价格之差）。试根据这些数据建立一个数学模型，分析牙膏销售量与其它因素的关系，为制订价格策略和广告投入策略提供数量依据. 表1 牙膏销售量与销售价格、广告费用等数据 （表中价格差指其他厂家平均价格与公平销售价格之差） 销售 周期 公司销售价格/元 其他厂家平均价格/元 广告费用 /百万元 价格差/元 销售量 /百万支 1 3.85 3.80 5.50 -0.05 7.38 2 3.75 4.00 6.75 0.25 8.51 3 3.70 4.30 7.25 0.60 9.52 4 3.60 3.70 7.25 0 7.50 5 3.60 3.85 7.00 0.25 9.33 6 3.6 3.80 6.50 0.20 8.28 7 3.6 3.75 6.75 0.15 8.75 8 3.8 3.85 5.25 0.05 7.87 9 3.8 3.65 5.25 -0.15 7.10 10 3.85 4.00 6.00 0.15 8.00 11 3.90 4.10 6.50 0.20 7.89 12 3.90 4.00 6.25 0.10 8.15 13 3.70 4.10 7.00 0.40 9.10 14 3.75 4.20 6.90 0.45 8.86 15 3.75 4.10 6.80 0.35 8.90 16 3.80 4.10 6.80 0.30 8.87 17 3.70 4.20 7.10 0.50 9.26 18 3.80 4.30 7.00 0.50 9.00 19 3.70 4.10 6.80 0.40 8.75 20 3.80 3.75 6.50 -0.05 7.95 21 3.80 3.75 6.25 -0.05 7.65 22 3.75 3.65 6.00 -0.10 7.27 23 3.70 3.90 6.50 0.20 8.00 24 3.55 3.65 7.00 0.10 8.50 25 3.60 4.10 6.80 0.50 8.75 26 3.70 4.25 6.80 0.60 9.21 27 3.75 3.65 6.50 -0.05 8.27 28 3.75 3.75 5.75 0 7.67 29 3.80 3.85 5.80 0.05 7.93 30 3.70 4.25 6.80 0.55 9.26 二、分析假设 由于牙膏是生活必需品，对大多数顾客来说，在购买同类产品的牙膏时更多地会在意不同品牌之间的价格差异，而不是它们的价格本身。因此，在研究各个因素对销售量的影响时，用价格差代替公司销售价格和其他厂家平均价格更为合适. 记牙膏销售量为 ，其他厂家平均价格与公司销售价格之差（价格差）为，公司投入的广告费用为，其他厂家平均价格和公司销售价格分别为和，。基于上面的分析，我们仅利用和来建立的的预测模型. 三、基本模型 为了大致的分析与和的关系，首先利用表1的数据分别做出对和的散点图（见图1和图2中的圆点）. 图1 对的散点图 图2 对的散点图 从图1可以发现，随着的增加，的值有比较明显的线性增长趋势，图中直线是用线性模型 （1） 拟合的（其中是随机误差）.而在图2中，当增大时，有向上弯曲增加的趋势，图中的曲线是用二次函数模型 （2） 拟合的. 综合上面的分析，结合模型（1）和模型（2）建立如下的回归模型 （3） (3)