若尔当标准形的求法王玉婵.doc

若尔当标准形的几种求法 学生姓名：王玉婵 学号数学与统计学院 数学与应用数学 摘要：复数域内每个矩阵都相似于若尔当标准形。本文先阐述相似与若尔当标准形的相关概念和定理，然后从特征向量、最小多项式和-矩阵理论三个方面归纳总结了三种若尔当标准形求法，最后结合方法一与方法二简化若尔当标准形的第四种求法，这些方法可以解决一般的n级矩阵的若尔当标准形求法。 关键词：若尔当标准形 特征向量空间 几何重数与代数重数 最小多项式 -矩阵 1.引言 矩阵、线性空间及欧式空间是高等代数主要研究对象。线性空间中事物之间的联系就反映为线性空间的映射，线性空间V到自身的映射——变换。线性变换可通过矩阵来表示，同一线性变换在不同基之下的矩阵相似。复述域内矩阵相似与一个若尔当型标准形，即存在线性空间的一组基，使得线性变换在这组基下的矩阵为最简单的形式——若尔当标准形。方便研究线性空间的性质、分类等方面的共性，探究若尔当标准形的求法就具有理论意义。同时在常微分方程、控制论等专业科目和实际应用中也利用复数域内矩阵相似于若尔当标准形达到简化形式。本文从特征向量空间，最小多项式和-矩阵理论三个方面总结若尔当标准形的几种求法。线性变换在某组基下用矩阵表示，线性变换在特征向量空间某组基下为若尔当形矩阵。线性空间可分解成特征向量空间的直和，找到每个特征向量空间的基，从而找到线性空间的一组基，在这组基下线性变换的矩阵为若尔当形矩阵，也即相似于若尔当形矩阵。相似的矩阵有相同的最小多项式，但最小多项式相同的同级矩阵的若尔当标准形不一定相同，则只能给出若尔当标准形的几种可能，若与其他条件联立有时也可确定若尔当标准形。数字矩阵对应的特征矩阵的初等因子除若尔当块顺序外唯一确定若尔当标准形。从而可先确定特征矩阵的全部初等因子，再确定若尔当块，除若尔当块顺序外唯一确定若尔当标准形。本文还比较了这几种若尔当标准形求法之间的联系，简化特征向量空间求若尔当标准形的方法。 2.若尔当标准形的几种求法 一、相似与若尔当标准形相关概念和定理 线性空间V中线性变换在两组基 ， （1） （2） 下的矩阵分别为A和B，从基（1）到基（2）的过渡矩阵X。于是 。 引入矩阵的相似，将线性变换数量化，用矩阵研究。 注：本文中数域P或未指明数域时均在复数域内讨论。 定义1.1设A，B为复数域上两个n级矩阵，如果可以找到复数域上可逆矩阵X，使得 就称A相似于B，记作。 定义1.2设是复数域上线性空间V的一个线性变换，如果对于复数域中一数，存在一个非零向量，使得 . 那么称为的一个特征值，而称为的属于特征值的一个特征向量。 注：线性变换在某组基下的矩阵设为A，则称上述为A的特征值，称为A的特征向量。 定义1.3若 ， 互不相同， 且 称为的代数重数。 的基础解系所含解向量的个数为的几何重数。 且,。 定义1.4复数域n级矩阵A以A为根的次数最低的首项系数为1的多项式称为A的最小多项式。 定义1.5复数域上矩阵A的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为1的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A的初等因子。 定理1.1设A是复数域上n 级矩阵，A相似于对角矩阵的充分必要条件是有n个线性无关的特征向量。 定理1.2复数域上每个n级矩阵与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列顺序外是被矩阵A唯一决定的，这个若尔当形称为A的若尔当标准形。 注：若尔当形如其中一些可能相等，。 定理1.3复数域上n级矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为A的最小多项式是复数域上互素的一次因式的乘积。 二、特征向量空间与若尔当标准形 对有限维线性空间讨论,设n级矩阵A为n维线性空间V线性变换在基 ， （3） 下的矩阵。 若矩阵A的几何重数等于代数重数，即存在n个线性无关的特征向量坐为线性变换的基，线性变换在这组基下的矩阵为对角矩阵。对角矩阵为1阶若尔当块，是一更简单的若尔当标准形的特例。 即： 其中不同的值可相同； 线性无关 由定理1.1知A相似对角矩阵（若尔当形矩阵） 。 若A的某个特征值的代数重数几何重数时，A相似于一般的若尔当形矩阵。 不妨设 。 先讨论矩阵的子块，，此时存在线性无关的向量 ，其中为特征值的一个非零特征向量，满足 ，写成方程组的形式 或 （＊） 这是一个充分必要条件。 证明：必要性显然，现证明充分性。 存在这样的方程组（＊）至少有个这样的方程组且有