《信号与系统》(第二版)-第2章.pptVIP

第2章　连续信号与系统的时域分析 2.1 连续系统的微分方程及其算子表示 所谓系统的数学模型是指系统基本特性的数学抽象。 为了确定一个线性时不变连续系统对给定激励的响应，应建立线性系统的数学模型。线性时不变连续系统的输入输出关系是用线性常系数微分方程来描述的。因此首先需列出描述系统特性的微分方程表达式，然后再求出其满足初始条件的解。 2.1.2 电路基本定律 例2.1.1 如图2.1所示RLC串并联电路，输入激励是电流源iS(t)，试列出以电流及R1上电压u1(t)为输出响应变量的方程式。 以上的电压为输出响应变量的方程式为： 2.1.4 微分方程的求解（经典法） 描述LTI连续系统的微分方程是一线性常系数常微分方程，一般形式如下： 1.齐次解 由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式 齐次解是满足式上式中右端激励及其各阶导数都为零的齐次微分方程的解。即： 其特征方程： 特征方程的 个根 、，…， ，称为微分方程的特征根。 根据特征根的取值情况不同，齐次解可以有不同的形式 （1）特征根均为单根。即所有特征根都互不相同（即无重根），则微分方程的齐次解 （2）特征根有重根 。 若 是特征方程的 重根，即有 ，而其余 个根都是单根，则微分方程的齐次解中相应于的部分有项，即 （3）特征根为一对共轭复根。则微分方程的齐次解为 例2.1.2 求微分方程 的齐次解 解：由特征 方程，解得特征根 因此该方程的齐次解为 其中，待定系数 由初始条件确定。 2.特解 特解的函数形式与激励函数的形式有关，即可根据自由项的函数形式来选择，如下表所示。 例2.1.3 已知微分方程 求下列两种情况下微分方程的特解 解：（1）因为 ，将 代入方程，得方程右边的自由项为 查表2.1可知，特解的一般形式为 所以 代入原方程得 由对应项系数相等得 所以方程的特解为 （2）因为，所以方程右边的自由项为 查上表可知，特解的一般形式为 所以 代入原方程得 解得 所以方程的特解为 3．完全解 微分方程的完全解为齐次解与特解之和，即 根据上面的讨论，对于 阶系统，齐次解 中有个待定系数。这些待定系数由下面 个初始条件来确定： 例2.1.4 试求微分方程 当 ，初始条件为 ，时的完全解。 解：（1）求齐次解。 按照题意，特征方程为 其特征根 均为单根，则其齐次解为 （2）求特解。 将 代入方程的右端，得自由项为 ，其中 与一个特征根 相重，故特解 将 代入上述微分方程，得 所以 因此特解 所以该方程的完全解是 由初始条件 有 解得 ，因此完全解为 2.2.5 用算子符号表示微分方程 1．算子的定义 （1）微分算子 ，定义如下： （2）积分算子 ，定义如下： 于是上面提到的激励信号 和系统响应 又可写为 其中 被称为响应对激励的传输算子或转移算子。 系统输入输出模型如下图所示。 系统的传输算子表示 例2.1.5 用算子法表微分方程。 解：根据微分算子的定义，上述微分方程 可表示为 还可将上式改写为 则传输算子或转移算子 为 2．算子符号运算的基本规则 （1）对算子多项式可以进行因式分解，但不能进行公因子相消。 （2）算子的乘除顺序不能随意颠倒，即 这表明“先乘后除”的算子运算（即先微分后积 分） 不能相消；而“先除后乘”（先积分后 微分） 的算子运算可以相消。 例：设某连续系统的算子为 试写出此系统的输入输出微分方程。 解：令系统的输入为 ，输出为 ，由给 定传输算子 写出此系统算子方程为 即 与 之间的关系为 所以系统的输入输出微分方程为 2.2