【精品推荐】球面几何-选修3-3-第七讲-球面三角形的边角关系.pptVIP

* 旧知回顾 定性研究和定量研究相结合是问题的一般方法．前面几讲，我们对球面三角形的边角关系进行了定性研究，得出了“两边之和大于第三边”“大边对大角”“等边对等角”等结论． 新课导入 我们知道，平面三角形的边角之间存在定量的边角关系:正弦定理、余弦定理．对于球面三角形，其边角之间是否有类似平面三角形的正弦定理、余弦定理这种定量关系呢？ 为方便类比，我们首先给出平面上的正弦定理、余弦定理． C B A a c b 图7-1 平面 如下图所示， 则有 正弦定理： 余弦定理： 教学目标 感知球面三角形的定量研究在现实中的 应用． 掌握球面上的正弦定理和余弦定理． 了解正弦定理和余弦定理的证明． 知识与能力 通过观察，了解正弦定理和余弦定理的特点． 进一步了解球面三角形再实际生活中的应用． 通过实例来深入对球面三角形的认识． 过程与方法 让学生从定量的角度来学习球面三角形． 从生活中大量存在的现象中得出规律． 培养合作交流意识． 情感态度与价值观 球面上的正弦定理和余弦定理． 余弦定理的证明． 余弦定理的应用． 教学重难点 一、球面上的正弦定理和余弦定理 为简便起见，考虑单位球面上的情况 图7-2 O F C B A a c b H D E G 如图7-2，单位球面上球面△ABC的边长分别为a，b，c ，则 a=BC=∠BOC（弧度）， a=BC=∠BOC（弧度），a=BC=∠BOC（弧度），球面△ABC的三个内角分别为∠A，∠B，∠C，根据球面角的定义可知，∠A，∠B，∠C，分别等于二面角C-OA-B，A-OB-C，A-OC-B的大小． 下面，我们首先看一下二面角A-OB-C和二面角A-OC-B。如图7-2，过点A作AD⊥平面OBC ，点D为垂足，再过D点分别作DE⊥OB ，DF⊥OC，E、F为垂足，连结AE、AF ． 因为DE是AE在平面OBC的射影， 且DE⊥OB ，所以OB⊥AE . 同理，OC⊥AF . 因此，∠DEA和∠DFA分别为二面角A﹣OB﹣C和A﹣OC﹣B的平面角． 所以， ∠DEA=∠B , ∠DFA=∠C . 在Rt△ADE和Rt△ADF 中 ,因为 AD=AEsin∠DEA=OAsin∠AOBsinB =sincsinB , AD=AFsin∠DFA=OAsin∠AOCsinC=sinbsinC . 所以， sincsinB=sinbsinC 即 同理 所以,可以得到 ： 球面上的正弦定理 设单位球面上球面△ABC的三个内角分别为∠A , ∠B , ∠C ，三边长分别为 a , b , c ，则 　　　　　　　　　　　　　　 继续考察图7-2，则OF=cosb,OE=cosc . 过点F作FG⊥OB于G点，则OE=OG+GE, OG=OFcosa=cosbcosa.过点D在平面OBC内作 DH⊥FG，垂足为H，则 DH∥OB，所以有 ∠DFH=∠BOC=a,且四边形DEGH是矩形． 所以 GE=DH=DFsin∠BOC=AFcosCsina =sinbsinacosC . 因此 , cosc=cosacosb+sinasinbcosC . 同理 cosa=cosbcosc+sinbsinccosA . cosb=cosacosc+sinasinccosB . 于是，得到： 球面上的余弦定理 设单位球面上球面 的三个内角分别为∠A , ∠B , ∠C ，三边长分别为 a , b , c ，则 cosc=cosacosb+sinasinbcosC . cosa=cosbcosc+sinbsinccosA ， cosb=cosccosa+sincsinacosB ， 如果球的半径为r，那么从上图可知BC=a=r∠BOC, AC=b=r∠AOC,AB=c=r∠AOB， 因此在推导过程中，分别用a／r , b／r ,c／r代替 a , b , c ，就得到半径为r的球面上的正弦定理与余弦定理． 正弦定理 ； 余弦定理