10-4--高阶线性微分方程.pptVIP

微分方程 一、定义 二、线性微分方程的解的结构 说明: 定义: 两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件: 三、二阶常系数齐次线性方程解法 小结: 四、二阶常系数非齐次线性微分方程 1、 例5. 例6. 例7. 求解定解问题：例6+初始条件如下 2、 第一步 第二步 求如下两方程的特解 第三步 求原方程的特解 第四步 分析 例10. 例11. 五、小结 第二步 求出如下两个方程的特解 分析思路: 第一步将 f (x) 转化为 第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点 利用欧拉公式将 f (x) 变形 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 故 等式两边取共轭 : 为方程 ③ 的特解 . ② ③ 设 则 ② 有 特解: 利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 : 原方程 均为 m 次多项式 . 因 均为 m 次实 多项式 . 本质上为实函数 , 对非齐次方程 则可设特解: 其中 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 小 结: 特别地 结论2: 解 对应齐次方程通解 代入原方程求得 原方程通解为 例9 的一个特解 . 解: 本题 特征方程 故设特解为 不是特征方程的根, 代入方程得 比较系数 , 得 于是求得一个特解 的通解. 解: 特征方程为 其根为 对应齐次方程的通解为 比较系数, 得 因此特解为 代入方程: 所求通解为 为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为 经 济 数 学 下页 返回 上页 第10章 微分方程与差分方程 10.4 高阶线性微分方程 二、线性微分方程解的结构 三、二阶常系数齐次线性方程解法 五、小结　思考题 10.4　二阶常系数线性微分方程 四、二阶常系数非齐次线性方程解法 一、定义 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 1.二阶齐次方程解的结构 证毕 证: 代入方程左边, 得 问题: 不一定是所给二阶方程的通解. 例如, 是某二阶齐次方程的解, 也是齐次方程的解 并不是通解 但是 则 为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 是定义在区间 I 上的 n 个函数, 使得 则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 例如， 在(?? , ?? )上都有 故它们在任何区间 I 上都线性相关; 又如， 若在某区间 I 上 则根据二次多项式至多只有两个零点 , 必需全为 0 , 可见 在任何区间 I 上都 线性无关. 若存在不全为 0 的常数 线性相关 存在不全为 0 的 使 ( 无妨设 线性无关 常数 例如 观察有 2.二阶非齐次线性方程的解的结构 证: 将 代入方程①左端, 得 是非齐次方程的解, 又Y 中含有 两个独立任意常数, 证毕 因而 ② 也是通解 . 例如, 方程 有特解 对应齐次方程 有通解 因此该方程的通解为 解的叠加原理 都是微分方程的解, 是对应齐次方程的解, 常数 所求通解为 例1 -----特征方程法 将其代入上述方程, 得 故有 特征方程 特征根 1)有两个不相等的实根 两个线性无关的特解 得齐次方程的通解为 特征根为 2) 有两个相等的实根 一特解为 得齐次方程的通解为 特征根为 3)有一对共轭复根 重新组合 得齐次方程的通解为 特征根为 特征方程: 实根 特 征 根 通 解 定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法称为特征方程法. 解 特征方程为 解得 故所求通解为 例2 解 特征方程为 解得 故所求通解为 例3 二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程 通解结构 常见类型 非齐次方程特解 齐次方程通解 二阶常系数线性非齐次微分方程 : 根据解的结构定理 , 其通解为 非齐次方程特解 齐次方程通解 求特解的方法 根据 f (x) 的特殊形式 , 的待定形式, 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . ① — 待定系数法 ? 为实数 , 设特解为 其中 为待定多项式 , 代入原方程 , 得 为 m 次多项式 . (1) 若 ? 不是特征方程的根, 则取 从而得到特解 形式为 Q (x) 为 m 次待定系数多项式 (2) 若? 是特征方程的单根 , 为m 次多项式, 故特解形式为 (3) 若 ? 是特征方程的重根 , 是 m 次多项式, 故特解形式为 对方程①, 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . 即 即 当? 是特征方程的 k 重根 时, 可设 特解 结论1 的一个特解. 解: 本题 而特征方程为 不是特征方程的根 . 设所求特解为 代入方程 : 比较系数, 得 于是所求特解为 的通解. 解: 本题 特